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1、演练方阵第9讲 解三角形正余弦定理类型一:利用正余弦定理解三角形考点说明：公式较多，容易记混，题型多样，难度中等，属于常考点。【易】1.在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C.2 D.2【答案】B【解析】因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.【中】2.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin AacosB(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值【答案】见解析.【解析】(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos
2、B在ABC中，sin A0，即得tan B，B(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos，解得a，c2a2【易】3.在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4 B2 C. D.【答案】B【解析】由正弦定理得：，即，所以AC2，故选B.【易】4.在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_【答案】【解析】由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.【易】5.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边若bsin A3csin B，a3，cos B，则b()A14 B6 C D【答案】D【解析】bs
3、in A3csin Bab3bca3cc1，b2a2c22accos B912316，b，故选D【中】6.在ABC中，a，b，c分别是角A，B, C所对应的边，且b6，a2，A30，求ac的值. 【答案】见解析.【解析】由正弦定理得sin B.由条件b6，a2，ba知BA.B60或120.(1)当B60时，C180AB180306090.在RtABC中，C90，a2，b6，c4，ac2424.(2)当B120时，C180AB1803012030，AC，则有ac2.ac2212.【易】7.在ABC中，a4，b5，c6，则_【答案】1【解析】由正弦定理得，由余弦定理得cos A，a4，b5，c6，
4、2cos A21【中】8.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a3b)cos Cc(3cos Bcos A)(1)求的值；(2)若ca，求角C的大小【答案】见解析.【解析】(1)由正弦定理得，(sin A3sin B)cos Csin C(3cos Bcos A)，sin Acos Ccos Asin C3sin Ccos B3cos Csin B，即sin(AC)3sin(CB)，即sin B3sin A，3(2)由(1)知b3a，ca，cos C，C(0，)，C【易】9.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin
5、A，则角B的大小为()A30 B45 C60 D120【答案】A【解析】由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因为cos B，所以cos B，所以B30【易】10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2asin B，则角A的大小为_【答案】30或150【解析】由正弦定理得sin B2sin Asin B，因为sin B0，所以sin A，所以A30或150【中】11.不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120； (2)a7，b14，A150； (3)a9，b10
6、，A60.【答案】见解析.【解析】(1)sin B，所以ABC有一解(2)sin B1，所以ABC无解(3)sin B，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的B的取值范围为60B90.当B为钝角时，有90B120，也满足AB180，所以ABC有两解【中】12.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcos Accos Aacos C(1)求角A的大小； (2)若a，bc4，求bc的值【答案】见解析.【解析】(1)根据正弦定理2bcos Accos Aacos C2cos Asin Bsin Acos Ccos Asin Csin (AC)sin B，sin B0，cos A，0
7、A180，A60.(2)由余弦定理得：7a2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc，把 bc4代入得bc3，故bc3.【难】13.在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值【答案】见解析.【解析】(1)由余弦定理及题设得，cos B.又因为0B，所以B.(2)由(1)知AC.cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因为0A，所以当A时，cos Acos C取得最大值1.类型二:利用正余弦定理判断三角形形状考点说明：本类题行是常考点题型，属于中等难度题型，需要重点掌握。【中】1.在AB
8、C中，已知，试数列ABC的形状【答案】见解析.【解析】，a2Rsin A，b2Rsin B，.又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，2A2B，或2A2B，即AB，或AB.故ABC是等腰三角形或直角三角形【中】2.在ABC中，若acos Abcos Bccos C，试判断ABC的形状【答案】见解析.【解析】 由余弦定理可得abc等式两边同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化简得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故ABC为直
9、角三角形【中】3.在ABC中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin C2sin Bcos A，试判断ABC的形状【答案】见解析.【解析】由正弦定理，可得sin B，sin C.由余弦定理，得cos A.代入sin C2sin Bcos A，得c2b.整理得 ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos C.故C.又ab，所以ABC为等边三角形【中】4.在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2 C，则ABC是_三角形【答案】直角【解析】由已知得sin2 Asin2 Bsin2 C，根据正弦定理知sin A，sin B，sin C，所
10、以，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形【中】5.在ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ，则ABC的形状一定是_【答案】直角三角形【解析】由题意，得，即cos B，又由余弦定理，得，整理得a2b2c2，所以ABC为直角三角形【中】6.在ABC中，c，b1，B，则ABC的形状为()A等腰直角三角形B直角三角形C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】根据余弦定理有1a233a，解得a1或a2，当a1时，三角形ABC为等腰三角形，当a2时，三角形ABC为直角三角形，故选D【中】7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)
11、(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形【答案】C【解析】，bc又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos AA(0，)，A，ABC是等边三角形【中】8.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【答案】B【解析】由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A.【中】9.
12、设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】B【解析】法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形.【中】11.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，试确定ABC的形状.【答案】见解析.【解析】法一利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2cos Asin Bsi
