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1、 高三数学二轮复习 第10讲 空间向量本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握立体几何中的向量方法直线的方向向量与平面的法向量C用向量法求空间中异面直线的成角A用向量法求空间中直线与平面的成角C用向量法求空间中二面角C用向量法求空间中点到面的距离B立体几何中的探索存在性问题C1.利用向量法求解空间中的成角问题（异面直线成角、线面成角、二面角）是重点也是难点.2.利用向量法求解空间中的距离问题是重点也是难点.3.立体几何中的探索存在性问题在北京卷中是重点也是难点.利用向量方法求空间中的夹角1. 求异面直线所成角方法：先求出两异面直线的方向向量，分别设为，异面直线所成的角设为，则，注意的范围是.2.
2、求线面角方法：先求出直线的方向向量，平面的法向量，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意的范围是.3. 求二面角方法：先求出两个平面的法向量，分别设为，并设两个平面所成的角为，则，注意的范围是.例1如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A B C D0【答案】D【解析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）,=（1，0，1），=（1，1，1）,设异面直线A1E与GF所
3、成角的为，则cos=|cos，|=0，故选D练习1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点（1）求证ACBC1；（2）求证AC1平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值【答案】证明：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，ACBC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1；（3）DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，E
4、D=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，cosCED=，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值解法二：直三棱锥ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（）=（3，0，0），=（0，4，4），=0，（2）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）=（，0，2），=（3，0，4），=，,DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（3）=（3，0，4），=（0，4，4），cos，=，异面直线AC1与B1C所成角
5、的余弦值为【解析】解法一：（1）利用勾股定理的逆定理判断出ACBC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出（2）因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DEAC1，得到AC1平面CDB1；（3）因为AC1DE，所以CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可解法二：利用空间向量法如图建立坐标系，（1）证得向量点积为零即得垂直（2）=，与两个向量或者共线或者平行可得空间中的成角问题主要包括异面直线成角、线面成角和二面角，求解异面直线成角的过程如下：先求出两异面直线的方向向量，分别设为，异面直线所成的角设为，则，注意的范围是.例
6、2如图，DC平面ABC，EBDC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120，P，Q分别为AE，AB的中点（）证明：PQ平面ACD；（）求AD与平面ABE所成角的正弦值【答案】（1）证明：连接DP，CQ，在ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，又，又PQ平面ACD，DC平面ACD，PQ平面ACD（2）在ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，CQAB而DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC而EB平面ABE，平面ABE平面ABC，CQ平面ABE，由（）知四边形DCQP是平行四边形，DPCQDP平面ABE，直线AD在平面ABE内的射影是AP，直线AD与平面ABE所成角是DAP，在RtAPD中，
7、=，DP=CQ=2sinCAQ=2sin30=1【解析】（1）利用三角形的中位线定理，又已知，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ平面ABE，再利用（）的结论可证明DP平面ABE，从而得到DAP是所求的线面角练习1（2017北京）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（1）证明：如图，设ACBD=O，ABCD为正方形，O为BD的中点，连接OM，P
8、D平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，则，即M为PB的中点；（2）取AD中点G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，则PGAD，连接OG，则PGOG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OGDC，则OGAD以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），,设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得取平面PAD的一个法向量为cos=二面角
9、BPDA的大小为60；（3），平面BDP的一个法向量为MC与平面BDP所成角的正弦值为【解析】（1）设ACBD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OMPD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PGAD，再由面面垂直的性质可得PG平面ABCD，则PGAD，连接OG，则PGOG，再证明OGAD以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角
10、的正弦值练习2（2012北京）如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2（1）求证：A1C平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】（1）证明：CDDE，A1DDE，CDA1D=D，DE平面A1CD，又A1C平面A1CD，A1CDE，又A1CCD，CDDE=D，A1C平面BCDE（2）如图建系，则C（0，0，0），D（2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0
11、），E（2，2，0），设平面A1BE法向量为，则，又M（1，0，），=（1，0，），CM与平面A1BE所成角的大小45.（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a0，3，设平面A1DP法向量为，则，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，3a+12+3a=0，6a=12，a=2，0a3，不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.【解析】（1）证明A1C平面BCDE，因为A1CCD，只需证明A1CDE，即证明DE平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）
12、设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a0，3，求出平面A1DP法向量为，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0a3，从而可得结论求解直线与平面的夹角方法如下：先求出直线的方向向量，平面的法向量，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意的范围是.例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值【答案】（1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面
13、PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90，可得PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，P（0，0，），设平面PBC的一个法向量为，由得，取y=1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，cos=，由图可知二面角APBC为钝角，二面角APBC
14、的余弦值为【解析】（1）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值练习1（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=F
