《知名机构高中讲义 [20171120][必修5 第7讲 等比数列前n项和 讲义教师版] (2).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20171120][必修5 第7讲 等比数列前n项和 讲义教师版] (2).pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 7 讲等比数列前 n 项和公式 1 了解等比数列前 n 项和公式的推导过程 2 掌握等比数列前 n 项和公式 并会运用等比数列的前 n 项和公式 3 提高学生类比化归 数形结合的能力 熟悉等比数列的性质 公式与方程的联系 1 等比数列前 n 项和公式的推导和应用 2 等比数列前 n 项和与等差数列性质的综合运用 3 等比数列前 n 项和与函数的应用 4 等差数列在等比数列前 n 项和中的应用 高一数学 2017 秋季 第 2页 等比数列前 n 项和公式 n 1 1n n 1 a 1 q aa q q11 q1 q naq 1 S 等比数列前 n 项和公式
2、的推导 公式的推导方法一 当1 q时 由 1 1 321 n n nn qaa aaaaS 得 nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 n n qaaSq 11 1 当1 q时 q qa S n n 1 1 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 公式的推导方法二 当1 q时 由等比数列的定义得 q a a a a a a n n 12 3 1 2 根据等比的性质 有q aS aS aaa aaa nn n n n 1 121 32 即q aS aS nn n 1 qaaSq n
3、n 1 1 当1 q时 q qa S n n 1 1 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 公式的推导方法三 n S n aaaa 321 13211 n aaaaqa 11 n qSa 1nn aSqa qaaSq nn 1 1 当1 q时 q qa S n n 1 1 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 高一数学 2017 秋季 第 3页 例 1 已知数列 n a为公比 q 1 的等比数列 2 a 1 13 10 a a 3 求数列 n a的第 n 项 n a及前 n 项和 n S 答案 n 2 n a 3 n n 1 31
4、 6 S 解析 依题意可得 1 2 11 a q 1 10 aa q 3 q1 解得 1 1 a 3 q 3 所以 n 1n 2 n 1 a 3 3 3 所以 n n n 1 31 1 3 31 3 16 S 练习 1 设数列 n a是公比为正数的等比数列 若 1 a 1 5 a 16 则数列 n a的前 7 项和 为 A 63B 64C 127D 128 答案 C 解析 设等比数列的通项公式为 n 1 n1 a a q 公比为正 则 q 0 因为 1 a 1 5 a 16 则 4 5 1 a q 16 a 即 q 2 数列 n a的前 n 项和为 n 1 n a 1 q 1 q T 7 n
5、2 1 127T 故本题 的正确答案为 C 练习 2 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 a 2 6 15 S 1 求通项 n a 2 设 n a n b 2 求数列 n b的前 n 项和 n T 答案 1 n a n1 2 n n 2 1T 解析 1 设等差数列 n a的公差为 d 由题意可知 31 61 a a2d 2 6a15d 15S 解得 1 a 0 d 1 所以 n1 a an 1 d n 1 2 由 1 可得 n a n1 所以 n 1 n b 2 则数列 n b是首项为 1 公比为 2 的等比数 高一数学 2017 秋季 第 4页 列 因此 n n 1 n n
6、b 1 q 1 2 21 1 q1 2 T 例 2 已知在等比数列 n a中 n 1 n a 2 3 则 由此数列的偶数项所组成的新数列的 前 n 项和 n S的值为 A n 31 B n 3 31 C n 91 4 D n 3 91 4 答案 D 解析 因为数列 n a中 n 1 n a 2 3 此数列的偶数项即 2n 1 2n a 2 3 组成的新数列 n b 的通项公式为 2n 1 n b 2 3 是首项为 6 公比为 9 的等比数列 根据等比数列求和公式得 nn n 6 1 93 91 1 94 S 故本题的正确答案为 D 练习 1 数列 n a满足 n 1n 3aa 0 且 2 4
7、a 3 则数列 n a的前 10 项和为 A 10 6 1 3 B 10 1 1 3 9 C 10 3 1 3 D 10 3 1 3 答案 D 解 析 数 列 n a满 足 n 1n 3aa 0 且 2 4 a 3 当 n 1 时 21 3aa 0 12 4 a 3a 3 4 3 由 n 1n 3aa 0 可得 n 1 n a1 a3 所以 n a为等比数列 首项 1 a 4 公比 1 q 3 通项公式 n 1 n 1 a 4 3 10 1 10 a 1 q 1 q S 10 10 1 4 1 3 3 1 3 1 1 3 故本题的正确答案为 D 练习 2 已知数列 n a为等差数列 且 3 a
8、 6 6 a 0 1 求数列 n a的通项公式 高一数学 2017 秋季 第 5页 2 若等比数列 n b满足 1 b 8 2123 b a a a 求 n b的前 n 项和 答案 n a 2n12 n n 4 1 3 S 解 析 1 设 等 差 数 列 的 公 差 为 d 则 63 aa 3d 求 得 d 2 则 1 a 10 n1 a an 1 d 2n12 根 据 1 可 得 1 a 10 2 a 8 3 a 6 则 2 b 24 求 得q 3 则 n 1 n n b 1 q 4 1 3 1 q S 例 3 设等比数列 n a的公比q 2 前 n 项和为 n S 则 4 2 a S A
9、2B 4C 15 2 D 17 2 答案 C 解析 4 4 1 4 21 a 1 q 1 q 151 q1 q aa qq2 S 故本题的正确答案为 C 练习 1 设 n S为正项等比数列 n a的前 n 项和 且 13 4aa 0 则 3 1 a S A 3B 7C 7 4 D 3 或 7 答案 C 解析 因为 13 4aa 0 所以 13 4a a 所以 2 3 1 a q 4 a 解得q 2 又因为 n a正 项等比数列 所以q 2 3 1 3 3 11 a 1 q 1 q1 q 7 aa1 q S 故本题的正确答案为 B 练习 2 设 n S为正项等比数列 n a的前 n 项和 且 2
10、5 8aa 0 则 5 2 S S A 11B 5C 8D 11 高一数学 2017 秋季 第 6页 答案 D 解 析 设 n a的 公 比 为 q 则 4 2511 8aa 8a qa q 0 解 得q 2 所 以 4 1 5 5 2 2 2 1 a 1 q 1 q1 q 11 1 qa 1 q 1 q S S 故本题的正确答案为 D 例 4 在等比数列 n a中 公比 q 1 且 14 a a 9 23 aa 8 1 求 1 a和 q 的值 2 求 n a的前 6 项和 6 S 答案 1 1 a 8 1 q 2 2 63 解析 1 有已知可得 14 2314 aa 9 a a a a 8
11、解得 1 4 a 1 a 8 或 1 4 a 8 a 1 因为 q 1 所以 1 4 a 1 a 8 所以 1 a 8 1 q 2 2 由 1 可得 6 6 6 1 2 21 63 1 2 S 练习 1 设 n a是由正数组成的等比数列 n S为其前 n 项和 已知 24 1aa 3 7 S 则 5 S A 5 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 答案 B 解析 正数组成的等比数列 则 q 0 且 2 243 a 1aa 所以 3 a 1 又因为 3123 2 11 a a a 1 7 qq S 即 2 6qq 1 0 解得 1 q 2 或 1 q 3 不符合题意 舍去 则 n 3
12、n 3 n3 1 a aq 2 所以 1 a 4 所以 5 5 1 4 1 312 1 4 1 2 S 故本题的正确答案为 B 高一数学 2017 秋季 第 7页 练习 2 已知公差大于零的等差数列 n a满足 34 a a 48 34 a a 14 1 求数列 n a的通项公式 2 记 n a n b 2 求数列 n b的前 n 项和 n T 答案 1 n a 2n 2 n 1 n 2 2T 解析 1 由公差 d 0 及 34 a a 48 34 a a 14 解得 3 a 6 4 a 8 所以 43 d aa 2 所以通项 n3 a an 3 d 2n 2 由 1 有 n a n n b
13、2 2 所以 n b是等比数列 首项 1 b 2 公比 q 2 所以 n b 的前 n 项和 n 1 n 1 n b 1 q 22 1 q T 熟练掌握等比数列前 n 项和公式及等比数列性质的灵活应用 等差数列与等比数列前 n 项和的综合应用 1 等比中有等差 等差中有等比 2 等差数列 等比数列分组求和 例 5 已知公差不为零的等差数列 n a中 4 a 10 且 3 a 6 a 10 a 成等比数列 1 求 n a的通项公式 2 设 n a n b 2 求数列 n b的前 n 项和 答案 1 n a n6 2 n 7 n 2 128S 解析 1 设数列 n a的公差为 d 又 4 a 10
14、 可得 3 a 10d 6 a 102d 10 a 106d 由 3 a 6 a 10 a 成等比数列得 2 3106 a a a 即 2 10d106d 102d 解得 d 1 或 d 0 舍 所以 n4 a an 4 d n6 高一数学 2017 秋季 第 8页 2 由 n a n b 2 n a n6 可得 n 6 n b 2 所以 1 6 1 b 2 128 因为 n 7 n 1 n 6 n b2 2 b2 所 以数列 n b是首项为 128 公比为 2 的等比数列 所以数列 n b的前 n 项和公式为 n n 7 n 128 1 2 2128 1 2 S 练习 1 已知数列 n a满
15、足 nn 1 a an2nN 1 且 3 a是 1 a与 5 a2 的等比中项 求数列 n a的通项公式 n a以及前 n 项和 n S 若 n 2a 1 n b 2nN 求数列 n b的前 n 项和 n T 答案 1 n a n 1 2 n 13 nn 22 S 2 n 1 n 28 4 33 T 解析 1 由 nn 1 a a 1得 数列 n a是等差数列且公差 d 1 由 3 a是 1 a与 5 a2 的等 比 中 项 所 以 2 315 a aa 1 即 2 111 a2 aa42 解 得 1 a 2 所 以 n a 2n 11 n 1 1n2 n a an13 nn 222 S 2
16、n 2a 12n 1n n b 2 2 2 4 所以 123n n 2 4 444 T n 4 1 4 2 1 4 n 1 28 4 33 例 6 已知等差数列 n a满足 3 a 5 52 a2a 3 等比数列 n b满足 1 b 3 公比 q 3 1 求 n a n b 2 若 nnn c ab 求数列 n c的前 n 项和 n S 答案 1 n a 2n 1 n n b 3 2 n 1 2 n 33 n 2 S 解析 1 设数列 n a的公差为 d 则有 1 11 a2d 5 a4d2 ad 3 解得 1 a 1 d 2所 高一数学 2017 秋季 第 9页 以 n a 2n 1 n 1n n1 b b q 3 2 由 1 可得 n n c 2n 13 所以 2n n 1 3 2n1333S 化简得 n n 3 1 3 n 12n 1 21 3 S 即 n 1 2 n 33 n 2 S 练习 1 等差数列 n a中 n S为其前 n 项和 已知 36 a a 16 96 15 SS 1 求数列 n a的通项公式 2 设 n b 2n log a 求数列 nn ab 的前 n 项和
