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1、 第14讲 立体几何初步1.直观图与三视图的概念；2.掌握点、线、面之间的位置关系；3.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行；4.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直；1.三视图、线面平行、线面垂直是重点.2.线面垂直、面面垂直是难点.3.求空间几何体的面积、体积是重点.三视图直观图与三视图空间几何体的表面积与体积.yi平面的性质及异面直线.yi点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系立体几何初步空间中的平行关系空间中的平行关系空间中的垂直.yi空间中的垂直关系直观图与三视图1. 三视图：空间几何体的三视图是由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图
2、形的形状和大小是全等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 三视图还原空间几何体遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则2空间几何体的直观图斜二侧画法：与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度减半，与夹角为.3. 圆柱的侧面积公式；圆锥的侧面积公式；圆台的侧面积公式；直棱柱的侧面积公式;正棱锥的侧面积公式.4.椎体的体积公式：,柱体的体积公式：,台体的体积公式：,球体的体积公式：例1. 若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意，画出图形，如图所示；原来的平面图形上底是1,下底
3、是，高是2的直角梯形，它的周长是.故选：A.练习1. 利用斜二测画法得到的结论正确的是_三角形的直观图是三角形平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形菱形的直观图是菱形；【答案】【解析】由斜二测画法可得：三角形的直观图是三角形平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是平行四边形菱形的直观图是平行四边形；综上可得：结论正确的是.练习2. 将正方体（如图（a）所示）截去两个三棱锥，得到图（b）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】D1A的投影为实线C1B,而B1C被遮住为虚线，因此选B.例2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面
4、积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，面积之和为，另一个侧面为等腰三角形，面积是44=8，故选B练习1.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图知,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为的直三棱锥;且该几何体的外接球球心在侧视图高上,如图所示; 设球心为,半径为,则,计算得出,所以, 几何体的外接球的体积为.所以B选项是正确的.练习2.把边长为2的正方形沿对角线折起，连结，得到三
5、棱锥，其正视图、俯视图均为全等的等腰三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图：正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，平面 平面 ，又为 的中点， 平面 ， 平面 侧视图为直角三角形，且三角形的两直角边长为 侧视图的面积 故选：C三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看
6、给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图点、线、面的位置关系直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交；空间两个平面的位置关系：两个平面相交和平行；空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.例3. 若是两条异面直线、外的任意一点，则（ ）A. 过点有且仅有一条直线与、都平行B. 过点有且仅有一条直线与、都垂直C. 过点有且仅有一条直线与、都相交D. 过点有且仅有一条直线与、都异面【答案】B【解析】项，设过点的直线为，若与， 都平行，则， 平行，与， 异面矛盾， 错；
7、项， ， 只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有条， 对；项，如图所示，在正方体中，设为直线，为直线，若点在点，显然无法作出直线与两直线都相交， 错；项，若在点，则直线及均与， 异面， 错故选练习1. 如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（ ）A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 【答案】C【解析】若两点在平面同侧，则直线与平面平行，若在异侧，则直线与平面相交，故选练习2.已知的三边长分别为4,4,6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答
8、案】B【解析】如图所示：当，都能得到符合题意的等腰三角形。故选B.例4.已知、是两个不同的平面， 、是两条不同的直线，下列命题中不正确的是（ ）A. 若， ，则B. 若， ，则C. 若， ，则D. 若，则【答案】B【解析】在中，则直线垂直面内任意一条直线， ，则直线垂直面内任意一条直线，故，故A正确在中，若， ，则与相交、平行或异面都有可能，故不正确在中，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故正确故选练习1. 设、是不同的直线， 、是不同的平面，有以下四个命题：；其中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】利用平面与平面平行的性质定理可知： ， ，则，故正确；， ，则与
9、可能平行，也可能相交，故错误；，且，因为，所以，所以，故正确；， 或，故错误 综上所述，真命题是：故选练习2. 下列命题中错误的是（ ）A. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面B. 如果平面平面，平面平面， ，那么平面C. 不存在四个角都是直角的空间四边形D. 空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行直线可能变成相交的直线【答案】D【解析】选项A, 假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故此命题成立；选项B, 由面面垂直的性质可以分别在、内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质
10、可知所作的直线与l平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；选项C,假设存在四个角都是直角的空间四边形A-BCD,则AD为AB,CD的公垂线, BC为AB,CD的公垂线,这与公垂线的性质矛盾,故命题正确;选项D, 空间图形经过中心投影后，直线是直线或者点，平行直线投影后可能是平行直线，重合直线，或者是两个点，不可能相交,命题错误;故选D.1判断空间点、线、面之间的位置关系要从定义和判定定理出发判断；2在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角. 空间中的平行关系直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，
11、则直线与平面平行；直线与平面平行的性质：如果直线与平面平行，平面与过直线的平面相交，则直线与交线平行.两个平面平行的判定定理：（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（2）垂直于同一直线的两个平面平行即，且，则；（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即，则两个平面平行的性质：一个平面与两个平行平面相交，则交线平行.例5. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且, , 分别为的中点.(1)证明: ；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）详见解析(2) 【解析】连接（2）连接 底面是边长为的菱形,且, , . .练习1. 如图，在正方体中， 为底面的中
12、心， 是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？【答案】见解析【解析】当为的中点时，平面平面， 为的中点， 为的中点，.连接，分别为， 的中点，又平面， 平面，面.再由面，且，平面平面.所以为的中点.练习2. 如图，在四棱锥中， 是正方形， 平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点求证：平面平面【答案】见解析；【解析】中， ， 分别是， 的中点，又四边形为正方形，得，平面， 面，面同理面， 是面内相交直线，平面平面 本题考查平面与平面平行的一般方法，即在一个平面内找到2条相交直线和另一个平面平行；两个平面平行的判定：（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于
13、另一个平面，那么这两个平面平行；（2）垂直于同一直线的两个平面平行即，且，则；（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即，则空间中的垂直关系直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内两条相交直线分别垂直，则直线与平面垂直；直线与平面垂直的性质：如果直线与平面垂直，直线与平面内的任意直线垂直.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面垂直两个平面垂直的性质：两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.例6. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形， ， 分别是， 中点， ， （）求证： 平面（）求证： 平面（）求证：平面平面【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】（）连接，交于，连接，则，平面， 面，平面；（）， 是的中点， ，平面；（）平面， 平面， ，四边形是矩形， 是中点，平面，平面，平面平面练习1.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面， ， (1)若，求三棱锥的体积；(2)证明：平面ACD平面BCDE；【答案】（1）（2）见解析【解析】()在矩形DCBE中， ，又 因AB是圆O的直径，点C在圆O上， ()由()知，又 又 又练习2. 如图，在四棱锥中，平面平面， ， 是等边三角形，已知， .（1）设是上的一点，证明：
