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1、第11讲 随机变量及其分布列本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握随机变量及其分布列经典小题随机变量及其分布列的性质及期望方差B两个随机变量的关系B二项分布独立事件及两点分布B二项分布B超几何分布与古典概型有关的随机变量的分布列C超几何分布C1. 随机变量及其分布列是重点；2. 二项分布是重点点；3. 超几何分布是重点也是难点.随机变量及其分布列的性质及期望方差随机变量及其分布列随机变量及其分布列经典小题二项分布两个随机变量的关系独立事件及两点分布二项分布与古典概型有关的随机变量的分布列超几何分布超几何分布随机变量及其分布列经典小题1.随机变量定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（ra
2、ndom variable )随机变量常用字母 X , Y， 表示2.离散型随机变量定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .3.连续型随机变量定义： 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 4.分布列:设离散型随机变量可能取得值为 x1，x2，xk,，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xipp1p2pi为随机变量的概率分布，简称的分布列.5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1由此你可以得出离散
3、型随机变量的分布列都具有下面两个性质：Pi0，i1，2，； P1+P2+=16.离散型随机变量的均值方差公式：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 方差刻画了离散型随机变量与均值的平均偏离程度.若，其中为常数，则 .【教师备案】1.考点：随机变量及其分布列 2.意图与目的：本部分核心在于求离散型随机变量的分布列及运用两个随机变量的期望方差公式解决问题. 3.重难点：（1）随机变量的分布列（2）两个随机变量分布列公式的灵活应用4.知识层面：属于A难度的基础知识题目例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 .【答案】【解
4、析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，练习1.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。【答案】【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得.练习2. 设非零常数是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差（ ）A B C D【答案】B 【解析】因为等差数列的公差是,所以,方差为,故选B.例2. 设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方
5、差分别为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】由题得：；的均值和方差分别为：均值故选练习1. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为（ ）A. 3,43 B. 3,32 C. 4,43 D. 4,32【答案】A【解析】一组数据的平均数是2,方差是，另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为：22-1=3，方差为：故选：A.练习2. 变量的分布列如下图所示，其中成等差数列，若，则的值是（ ）-101A. B. C. D. 【答案】B【解析】成等差数列, ，由变量的分布列，知：,解得，.故选：B.求离散型随机变量均值与
6、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值，再求得对应的概率，则均值为（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解二项分布1.相互独立事件:相互独立事件同时发生的概率：一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， .2.两点分布：如在掷一枚图钉的随机试验中，令如果针尖向上的概率为,根据分布
7、列的性质，针尖向下的概率是（),随机变量 X 的分布列是01P像上面这样的分布列称为两点分布列3.散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01kn记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)二项分布的期望和方差，【教师备案】1.考点：二项分布及其应用 2.意图与目的：本部分核心是独立事件及次独立重复试验发生次数的概率分布列即二项分布. 3.重难点：二项分布
8、问题 4.知识层面：属于B难度的基础知识灵活应用例3. 】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 .【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，练习1. 已知随机变量满足， 若，则A，BC，【答案】A【解析】试题分析：，选A练习2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布
9、列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】 (1) (2) 【解析】（）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.例4. 一企业从某生产线上随机抽取40件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到如下的频数表频数315175（1）估计该技术指标值的平均数（以各组区间中点值为代表）；（2）若，则该产品不合格，其余合格产品。产生一件产品，若是合格品，可盈利100元，若不是合格品则亏损
10、20元。从该生产线生产的产品中任取2件，记为这2件产品的总利润，求随机变量的分布列和期望值。【答案】（1）；（2）252【解析】（1）平均值（2）合格率，不合格率， 的取值为200，80，-40， ， 的分布列为：X20080-40P0.640.320.04期望练习1. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，
11、就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
12、从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
13、因此的估计值为.练习2.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开生二胎政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析； （2） 见解析； 【解析】（1）由题意知， 的值为0,1,2,3. ， ， ， . 的分布列为:0123 （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为， =0,1,2,3. 且. 的分布
