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1、第7讲 三角函数的综合问题1.掌握正弦函数和正切函数的图像和性质；2.理解三角函数图象变换，并用图像变换解决问题；3.掌握和差角公式并用公式解决三角函数综合问题。1.正弦函数和正切函数的图像和性质是重点；2.表函数图像变换的两种方式是易错点；3.和差角公式是重点；4利用三角函数相关知识解决综合问题是难点。_ 正弦函数和正切函数的图像和性质一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)二、正弦函
2、数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22三、三角函数的对称性、周期性和奇偶性1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两
3、对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)例1. （2016春许昌校级期中）y=sinx|sinx|的值域是（）A1，0B0，1C1，1D2，0【答案】D【解析】解：y=sinx+|sinx|当x2k，2k+（kZ）时，0sinx1此时，y=sinx+|sinx|=sinxsinx=0当x（2k+，2k+2）（kZ）时，1sinx0此时，y=sinx|sinx|=sinx
4、+sinx=2sinx此时y2，0）综上，y2，0故选D练习1. （2015秋霍邱县期末）函数y=tan（2-x）（-4x4且x0）的值域是（）A1，1B（，11，+）C（，1）D1，+）【答案】B【解析】解：-4x4且x042-x34且2x2y=tan（2-x）（，11，+）故选B练习2. （2017安徽模拟）若函数y=2sinx（0）在3，4上的最小值是2，但最大值不是2，则的取值范围是（）A（0，2）B32，2）C（0，32D2，+）【答案】B【解析】解：函数y=2sinx（0）在3，4上的最小值是2，但最大值不是2，x的取值范围是3，4；32且42，解得322，的取值范围是32，2）故
5、选：B(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域例2. 下列函数中，在区间0，2上为减函数的是（）Ay=cosxBy=sinxCy=tanxDy=sin(x-3)【答案】A【解析】解：由于y=tanx 在区间0，2上为增函数，y=tanx 在区间0，2上为增函数，故排除B、C在区间0，2上，3x36，故y=sin(x-3) 在区间0，2上为增函数，故排除D故只有y=cosx
6、在区间0，2上为减函数故选：A练习1. （2017娄底二模）已知函数f(x)=2sin(x+)+1(0，|2)，f()=-1，f()=1，若|的最小值为34，且f（x）的图象关于点(4，1)对称，则函数f（x）的单调递增区间是（）A-2+2k，+2k，kZB-2+3k，+3k，kZC+2k，52+2k，kZD+3k，52+3k，kZ【答案】B【解析】解：由题意，函数f(x)=2sin(x+)+1(0，|2)，f()=-1，f()=1，|的最小值为34，周期T=4|=3，=2T，即=23f（x）=2sin（23x+）+1又图象关于点(4，1)对称，带入可得：sin（234+）=0，即6+=k，k
7、Z|2=-6f（x）=2sin（23x6）+1由-2+2k23x62+2k得：-2+3kx+3k，kZ(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解例3（2017明山区校级学业考试）函数f（x）=cos2xsin2x+1的最小正周期是（）A4B2CD2【答案】C【解析】解：由于函
8、数f（x）=cos2xsin2x+1=cos2x+1，故函数的最小正轴为22=，故选：C练习1. 设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|若f（58）=2，f（118）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（）A=23，=12B=23，=1112C=13，=1124D=13，=724【答案】A【解析】解：由f（x）的最小正周期大于2，得T42，又f（58）=2，f（118）=0，得T4=118-58=34，T=3，则2=3，即=23f（x）=2sin（x+）=2sin（23x+），由f（58）=2sin(2358+)=2，得sin（+512）=1+512=2+2k，kZ取k=0，得=
9、12=23，=12故选：A(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.三角函数的图象的变换一yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx二.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0三.函数ysin x的
10、图象经变换得到yAsin(x) (A0，0)的图象的步骤如下：四、常用结论1由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度2函数yAsin(x)的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标例4. （2016春赤坎区校级期末）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02322x5121112Asin（x+）03030（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（
11、x）图象的一个对称中心（512，0），求的最小值【答案】（1）见答案（2）4【解析】解：（1）由表格可得512+=2，1112+=32，=2，=3，x+=2x3，故f（x）=3sin（2x3）故当x+=2x3=0时，x=6； x+=2x3=时，x=23；x+=2x3=2时，x=76完整的表格如下： 2x3 0 2 32 2 x 6 512 23 1112 76 3sin（2x6） 0 3 03 0（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）=3sin2（x+）3=3sin（2x+23）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心（512，0），则2512+23=k，kZ，即=k24，故当k=1时，取得最小值为4练习1. 把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是()Aycos 2x Bysin 2xCysin(2x) Dysin(2x)【答案】A【解析】由ysin x图象上所有点的横坐标缩
