《知名机构高中讲义 [20171205][选修4-2 第10讲 特征向量] 演练方阵教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20171205][选修4-2 第10讲 特征向量] 演练方阵教师版.pdf（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 考点说明 特征值与特征向量 类型一 类型一 特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 易 1 设A是一个二阶矩阵 如果对于实数 么 称为 而 称为 要强调它们的对应关系 一个特征值对应的特征向量并不唯一 它有无穷多个特征向量 答案 A 的一个特征值 一个特征向量 解析 略 易 2 设A 是一个二阶矩阵 特征多项式 若 是f 0 答案 2 a d ad bc 解析 略 易 3 写出求矩阵特征向量和特征值的步骤 答案 1 f 2 解 3 取x 1或y 1 写出相应的向量 4 如果向量 是属于 的特征向量 将它乘非零实数 故 t 也是属于 的特征向量 值的一个特征向量 就可以表示出属于这个特征值的
2、共线的所有特征向量了 ab cd ab cd 0 0 a x by cxd y 特征值与特征向量 高二数学 演练方阵 第 10 讲 特征向量 特征值与特征向量是基本考点 特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个非零向量 使得 称为A的属于特征值 的 注意 特征值与特征向量一定 要强调它们的对应关系 一个特征值对应的特征向量并不唯一 它有无穷多个特征向量 一个特征向量 是一个二阶矩阵 R 我们把行列式f 0的一个根 则 是A的 用这种方法可以把A的特征值全部求出来 bc 一个特征值 特征向量和特征值的步骤 0 a x by 0 写出相应的向量 的特征向量
3、将它乘非零实数 t 后所得的新向量 t 的特征向量 因此 一个特征值对应多个特征向量 显然 只要有了特征 值的一个特征向量 就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了 ab cd ab cd 特征值与特征向量 高二数学 2018 春季 第 1 页 使得A 那 注意 特征值与特征向量一定 要强调它们的对应关系 一个特征值对应的特征向量并不唯一 它有无穷多个特征向量 称为A的 的特征值全部求出来 与向量 共线 因此 一个特征值对应多个特征向量 显然 只要有了特征 值的一个特征向量 就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了 ab cd 解析 略 易 4 向量 1 0 在矩阵 10 03
4、 A 改变了方向 长度不变 C 方向和长度都不变 答案 C 解析 略 易 5 下列对于矩阵 A 的特征值 A 存在向量 使得 A C 对任意非零向量 A 答案 D 解析 根据定义可知选 D 易 6 已知A A 2 1 1 2 则矩阵 答案 2 4 3 解析 特征多项式为f 3 考点说明 求特征向量与特征值的计算 类型一 类型一 求特征向量与特征值求特征向量与特征值 易 1 求矩阵 M 1 0 5 6 答案 略 解析 矩阵 M 的特征多项式 f 1 0 5 6 令 f 0 解得矩阵 M 的特征值 1 x 0 y 0 5x 6 y 0 易求得 7 5 为属于 1 1 特征值与特征向量的计算 高二数
5、学 10 03 变换下 长度不变 B 改变了长度 方向不变 来源 D 以上都不对 的特征值 的描述正确的是 B 对任意向量 有 A 成立 D 存在一个非零向量 有 A 则矩阵A A的特征多项式为 2 1 1 2 2 2 1 2 4 4 求特征向量与特征值的计算是基本考点 求特征向量与特征值求特征向量与特征值 0 6 的特征值和特征向量 的特征多项式 1 6 的特征值 1 1 2 6 将 1 1 代入方程组 1 的一个特征向量 将 2 6 代入方程组 特征值与特征向量的计算 高二数学 2018 春季 第 2 页 学 科 网 1 2 4 代入方程组 高二数学 2018 春季 第 3 页 1 x 0
6、 y 0 5x 6 y 0 易求得 0 1 为属于 2 6 的一个特征向量 综上所述 M 1 0 5 6 的特征值为 1 1 2 6 属于 1 1 的一个特征向量为 7 5 属于 2 6 的一个 特征向量为 0 1 易 2 矩阵的特征值与特征向量的含义是什么 答案 略 解析 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量 则 A 其中 A a b c d 即向量 在矩阵 A 所对应的变换 x y A x y 下 A a b c d 即向量 在矩阵 A 所对应的变换 x y A x y 下 易 3 已知矩阵 M 1 2 2 x 的一个特征值为 3 求另一个特征值及其对应的一个特征向量 答案 略 解析
7、矩阵 M 的特征多项式为 f 1 2 2 x 1 x 4 因为 1 3 为方程 f 0 的一根 所以 x 1 由 1 1 4 0 得 2 1 设 2 1 对应的一个特征向量为 x y 则由 2x 2y 0 2x 2y 0 得 x y 令 x 1 则 y 1 所以矩阵 M 的另一个特征值为 1 对应的一个特征向量为 1 1 高二数学 2018 春季 第 4 页 易 4 已知矩阵 M 1 2 1 3 向量 3 5 2 4 1 求向量 2 3 在矩阵 M 表示的变换作用下的象 2 向量 1 2 是矩阵 M 的特征向量吗 为什么 答案 略 解析 1 因为 2 3 2 3 5 3 2 4 12 2 所以
8、 M 2 3 1 2 1 3 12 2 8 18 所以向量 2 3 在矩阵 M 表示的变换作用下的象为 8 18 2 向量 1 2 不是矩阵 M 的特征向量 理由如下 M 1 2 1 3 1 2 3 7 向量 3 7 与向量 1 2 不共线 所以向量 1 2 不是矩阵 M 的特征向量 易 5 已知矩阵 A 的逆矩阵 A 1 2 1 1 2 求矩阵 A 求矩阵 A 1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 答案 略 解析 因为矩阵 A 是矩阵 A 1的逆矩阵 且 A 1 2 2 1 1 3 0 所以 A 1 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 2 3 矩阵 A 1的特征多项式为 f 2
9、 1 1 2 2 4 3 1 3 令 f 0 得矩阵 A 1的特征值为 1 1 或 2 3 所以 1 1 1 是矩阵 A 1的属于特征值 1 1 的一个特征向量 2 1 1 是矩阵 A 1的属于特征值 2 3 的一个特征向量 高二数学 2018 春季 第 5 页 中 6 已知矩阵 A 2 0 0 1 1 求矩阵 A 1 2 求逆矩阵 A 1的特征值及特征向量 3 对任意向量 x y 求 A 1 20 答案 1 1 2 0 0 1 2 略 3 x 2 20 y 解析 1 det A 2 1 0 0 2 A 1 1 2 0 0 1 2 f 1 2 0 0 1 1 2 1 令 f 0 得 A 1的特
10、征值 1 1 2 2 1 属于特征值 1 1 2的一个特征向量 1 1 0 属于特征值 2 1 的一个特征向量 2 0 1 3 设 x y x 1 0 y 0 1 A 1 20 x 1 20 1 y 2 20 2 1 2 20 x y x 2 20 y 中 7 已知矩阵 A 的逆矩阵 A 1 1 4 3 4 1 2 1 2 求矩阵 A 的特征值 答案 1 1 2 4 解析 因为 A 1A E 所以 A A 1 1 高二数学 2018 春季 第 6 页 因为 A 1 1 4 3 4 1 2 1 2 所以 A A 1 1 2 3 2 1 于是矩阵 A 的特征多项式为 f 2 3 2 1 2 3 4
11、 令 f 0 解得 A 的特征值 1 1 2 4 中 8 已知二阶矩阵 A 的属于特征值 2 的一个特征向量为 1 3 属于特征值 2 的一个 特征向量为 1 1 求矩阵 A 答案 1 1 3 1 解析 设 A a b c d 由题意知 a b c d 1 3 2 6 a b c d 1 1 2 2 即 a 3b 2 c 3d 6 a b 2 c d 2 解得 a 1 b 1 c 3 d 1 A 1 1 3 1 中 9 设矩阵 M 1 2 4 3 1 求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 2 求矩阵 M 的特征值 答案 3 5 2 5 4 5 1 5 1 或 5 解析 1 矩阵 A a b c d a
12、d bc 0 的逆矩阵为 A 1 d ad bc b ad bc c ad bc a ad bc 高二数学 2018 春季 第 7 页 所以矩阵 M 的逆矩阵 M 1 3 5 2 5 4 5 1 5 2 矩阵 M 的特征多项式为 f 1 2 4 3 2 4 5 令 f 0 得到 M 的特征值为 1 或 5 难 10 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 8 及与其对应的一个特征向量 1 1 1 并且 矩阵 M 对应的变换将点 1 2 变换成 2 4 1 求矩阵 M 2 求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 2的坐标之间的关系 3 求直线 l x y 1 0 在矩阵 M 的作用下的直线
13、 l 的方程 答案 略 解析 1 设矩阵 M a b c d 则 a b c d 1 1 8 1 1 8 8 故 a b 8 c d 8 由题意得 a b c d 1 2 2 4 故 a 2b 2 c 2d 4 联立以上两方程组可解得 a 6 b 2 c 4 d 4 故 M 6 2 4 4 2 由 1 知矩阵 M 的特征多项式 f 6 2 4 4 6 4 8 2 10 16 令 f 0 解得矩阵 M 的另一个特征值 2 设矩阵 M 的属于特征值 2 的一个特征向 量 2 x y 则 M 2 6x 2y 4x 4y 2 x y 解得 2x y 0 3 设点 x y 是直线 l 上的任一点 其在矩
14、阵 M 的作用下对应的点的坐标为 x y 则 6 2 4 4 x y x y 即 x y 即直线 l 的方程为 x y 类型二 类型二 由特征值特征向量求参数由特征值特征向量求参数 易 1 设是矩阵M 答案 1 解析 设是矩阵 M 属于特征值 解得 故实数a的值为1 易 2 矩阵 A 1 4 2 3 的一个特征向量为 答案 1 或 解析 矩阵 A 的特征方程 5 或 1 当 5 时 方程组为 4x 2x 2y 取 x 1 y 1 a 1 当 1 时 方程组为 2x 2x 取 x 1 y a 综上所述 a 1 或 a 2 3 32 a 2 3 262 123 a 4 1 a 高二数学 1 4x
15、1 8y 1 4x 3 8y 代入直线 l 的方程并化简得 x 2 0 由特征值特征向量求参数由特征值特征向量求参数 的一个特征向量 求实数a的值 属于特征值 的一个特征向量 则 的一个特征向量为 1 a 则 a 为 的特征方程为 1 4 2 3 3 1 8 2 4y 0 y 0 即y x 4y 0 4y 0 即x 2y 2 32 a 22 323 a 4 1 高二数学 2018 春季 第 8 页 x y 2 0 故 4 5 0 22 323 2 3 高二数学 2018 春季 第 9 页 易 3 设二阶矩阵 M 3 4 m n 其中 m n 是实数 且向量 2 1 是矩阵M 的属于特征值 1
16、的一个特征向量 则矩阵 M 可以是 答案 3 4 0 1 答案不唯一 解析 由题意知 3 4 m n 2 1 2 1 则 2 2m n 2 1 故2m n 1 取 m 0 n 1 则 M 3 4 0 1 为适合条件的一个矩阵 易 4 已知矩阵A 的属于特征值 的一个特征向量为 1 求实数b 的值 2 若曲线C在矩阵A对应的变换作用下 得到的曲线为C x 2 2y2 2 求曲线C的方程 答案 1 b 0 2 2 3x 2 6xy 9y2 1 解析 1 因为矩阵A 属于特征值 的一个特征向量为 所以 即 从而解得b 0 2 2 由 1 知A 设曲线C上任意一点M x y 在矩阵A对应的变换作用下变为曲线C 上一点P x0 y0 2 13 b 1 1 2 13 b 1 1 21 13 1 b 1 1 2 2 b 2 2 b 20 13 高二数学 2018 春季 第 10 页 则 从而 因为点P在曲线C 上 所以 2 2 即 2x 2 2 x 3y 2 2 从而3x 2 6xy 9y2 1 所以曲线C的方程为3x 2 6xy 9y2 1 中 5 已知二阶矩阵 M 有特征值 3 及对应的一个特征
