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1、第10讲 不等式1、通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.2、掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.3、从不同角度探索基本不等式的证明过程；使学生从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.2、难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给
2、出解答.3、重点理解基本不等式的相关题型及其解法。不等式的解法1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式b24ac000)的根有两相异实根x1，x2，(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根二次函数yax2bxc (a0)的图象ax2bxc0(a0)的解集或xx2Ra
3、x2bxc0)的解集4、绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc； |axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解例1.解下列不等式：(1)2x27x30； (2)x24x50； (3)4x218x0；(4)x23x50； (5)2x23x20【答案】见解析.【解析】(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不
4、等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x，或x3(2)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(3)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，(6)24040，所以方程x26x100无实根，又二次函数yx26x10的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.练习1.（2017春昌平区校级月考）解不等式x23x280的解集为（）A x|2x14 Bx|4
5、x7 Cx|x4或x7 Dx|x2或x14【答案】B【解析】不等式x23x280化为（x7）（x+4）0，解得4x7，所以不等式的解集为x|4x7故选B练习2.（2016春海淀区期末）不等式x2+2x30的解集为（）Ax|x3或x1 Bx|x1或x3 Cx|1x3 Dx|3x1【答案】D【解析】不等式x2+2x30可化为（x+3）（x1）0，解得3x1，所以不等式的解集为x|3x1故选D练习3. （2016春东城区期末）不等式x2+2x3的解集是（）A x|1x3 Bx|3x1Cx|x3或x1 Dx|x1或x3【答案】B【解析】不等式x2+2x3，x2+2x30，即（x+3）（x1）0，解得3
6、x1，所以该不等式的解集是x|3x1故选B解一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集例2.解关于x的不等式x2(1a)xa0.【答案】见解析.【解析】方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a，函数yx2(1a)xa的图象开口向上，则当a1时，原不等式解集为x|ax1；当a1时，原不等式解集为；当a1时，原不等式解集为x|1xa练习1.（2015秋海淀区校级期中）解关于x的不等式ax2ax+x0，其中aR【答案】（I）当a=
7、0时，原不等式变为：x0，（II）当a0时，原不等式可写为，当a0时，若即a=1此时不等式变为x20得x0，若即0a1可得或x0，若即a1时 可得x0或，当a0时，可得，综上所述：当a=0时，不等式的解集为x|x0；当a=1时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为当a1时，不等式的解集为当0a1时，不等式的解集为x|x或x0【解析】分a=0、a0、a0讨论不等式解集情况，结合不等式对应的方程求出不等式的解集练习2.（2014春房山区校级期中）（理科）解不等式：x2+（a1）xa0【答案】原不等式可化为（x+a）（x1）0；当a1时，不等式的解集为x|xa或x1；当a=1时，不等式的
8、解集为R；当a1时，不等式的解集为x|x1或xa【解析】把不等式化为（x+a）（x1）0，讨论a的取值，得出对应不等式的解集解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论例3.已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x2，求关于x的不等式bx2ax10的解集【答案】见解析.【解析】x2axb0的解集为x|1x2，1,2是x2axb0的两根由韦达定理有得代入所求不等式，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x或x1
9、.bx2ax10的解集为(1，)练习1.（2014秋石景山区期末）设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1x2，a0，那么ax2+bx+c0的解集是（）Ax|xx1 Bx|xx2 Cx|xx1或xx2 Dx|x1xx2【答案】D【解析】由题意，不等式可化为：a（xx1）（xx2）0，由于x1x2，a0，ax2+bx+c0的解集是x|x1xx2，故选D练习2.（2010秋朝阳区校级月考）若m、n（mn）是关于x的方程1（xa）（xb）=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（）A mabn BamnbCambn Dmanb【答案】A【解析】1（xa）（xb）=0即为（xa）（x
10、b）1=0,令f（x）=（xa）（xb）1，g（x）=（xa）（xb）,f（x）的图象是g（x）的图象向下平移1个单位,又m，n是f（x）的两个零点，a，b是g（x）的两个零点；mabn,故选A1一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc与x轴交点的横坐标2二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化例4.关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围【答案】见解析.【解析】原不
11、等式等价于mx2mxm10，对xR恒成立，当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得m0.综上，m的取值范围为m0.练习1.（2009春朝阳区期末）若不等式a22a1恒成立，则实数a的取值范围是（）AaR BaR且a1 Ca1或a1 Da2【答案】B【解析】不等式a22a1恒成立，将不等式a22a1 化为（a1）20，只须a10,a1，则实数a的取值范围是aR且a1,故选B练习2.已知f(x)x22(a2)x4，如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；【答案】见解析.【解析】由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满
12、足题意，则其相应方程x22(a2)40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范围是a|0a4练习3.已知关于x的不等式x24xm对任意x(0,1恒成立，则有()Am3 Bm3 C3m0 Dm4【答案】A【解析】令f(x)x24x(x2)24，在(0,1上为减函数，当x1时，f(x)最小值3，所以m3.练习4.若关于x的不等式mx2mx10的解集不是空集，则m的取值范围是_【答案】m0或m4【解析】假设原不等式的解集为空集当m0时，原不等式化为10，此时不等式无解，满足要求当m0时，即0m4.综上可得0m4.故当原不等式的解集不是空集时，有m0或m4.练习5.对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围【答案】见解析.【解析】由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x
