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1、第6讲 等比数列的概念、性质1.掌握等比数列、等比中项的概念.2.能利用定义判定等比数列.3.掌握等比数列的通项公式及推导方法，并熟练运用通项公式求相关基本量.4.能灵活运用等比数列相关公式及性质解决综合问题.1.重点是等比数列的概念、通项公式及性质.2.难点是等比数列通项公式及性质的应用.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q0)表示.1、通项公式： an=a1qn-1 nN+ 推导过程：设数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，求第n项an？方法一： a1=a1，a2
2、=a1q， a3=a2q=a1q2， a4=a3q=a1q3，由此得到等比数列的通项公式为：an=a1qn-1nN+方法二：由等比数列定义可知a2a1=q ， a3a2=q， a4a3=q， ， an-1an-2=q， anan-1=q，将这n-1个等式左右两边相乘，可得ana1=qn-1，即 an=a1qn-1nN+2、等比中项： 如果三个数x、G、y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，即G2=xy.【注】两个正数（或负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项3、等比数列单调性：a10，q1时，an是递增的等比数列；a10，0q1时，an是递减的等比数列 ；a
3、11时，an是递减的等比数列；q=1时，an是非零常数列；q0时，an是摆动数列.例1. 已知数列an的通项公式为an=32n，试问这个数列是等比数列么？【答案】是等比数列【解析】考查等比数列的定义因为当n2时，anan-1=32n32n-1=2，所以数列an是等比数列.练习1.设数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn,n=1,2,3.求证：数列Snn是等比数列.【答案】见解析【解析】an+1=Sn+1-Sn ， an+1=n+2nSn ，n+2Sn=nSn+1-Sn .整理得nSn+1=2n+1Sn， Snn+1=2Snn , 故Snn是以2为公比的等比数列.练习2
4、.已知a1=1，an+1=2Sn+1， 试判断数列an是否为等比数列？并证明 . 【答案】见解析【解析】an+1=2Sn+1 ， an=2Sn-1 +1n2， 两式相减 , 得 an+1-an=2an . 即an+1=3an n2 ，an+1an=3 (n2)，又a2=2S1+1=3 ，而a1=1 ，所以a2a1=3 .所以an是首项为1，公比为3的等比数列.主要考查等比数列的判定方法，即后一项与前一项的比值是一个非零常数，即为等比数列.例2.已知等比数列an的公比为q，第m项为am，试求第n项an.【答案】an=amqn-m【解析】由等比数列的通项公式可知an=a1qn-1，am=a1qm-
5、1两式相除，得anam=qn-m，因此an=amqn-m.练习1.在等比数列an中：（1）已知a3=2，公比q=-1，求a15.（2）已知a2=2，a5=14，求公比q.【答案】（1）a5=2 （2）q=12【解析】（1）由等比数列变形公式an=amqn-m得：a15=a3q12=2（-1）12=2.（2）由等比数列变形公式an=amqn-m得：qn-m=anam，即q5-2=a5a2，q3=18，即q=12.练习2.在等比数列an中，已知a1=19，a5=9，则a3=（ ）A. 1 B. 3 C. 1 D. 3【答案】A【解析】设公比为q，则a5=a1q4，q4=81，q2=9.则a3=a1
6、q2=199=1.练习3.已知等比数列an中，a1=127，a7=27，求an.【答案】an=3n-4或an=-3n-4【解析】由a7=a1q6，得27=127q6，q6=272=36，q=3. 当q=3时，an=a1qn-1，当q=-3时，an=a1qn-1=127-3n-1=-3-3-3n-1=-3n-4. 故an=3n-4或an=-3n-4.等比数列通项公式an=a1qn-1及变形公式an=amqn-m的简单应用.例3.在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.【答案】2 ，1，12 或-2，1，-12【解析】此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3=
7、a1a5=1.a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项.因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a3=1 ，a2=a1a3=2，a4=a3a5=12.因此，插入的3项依次为2 ，1，12 或-2，1，-12.练习1.在等比数列an中，a5=4，a9=9，则a7= .【答案】6【解析】由等比数列等比中项定义可知a7是a5和a9的等比中项，所以a72=a5a9=36，且a7与a5和a9同号，即a7=6.练习2. 已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2( )A4B6C8D 10【答案】B【解析】解析：an是等差数列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a
8、4成等比数列，(a14)2a1(a16)，解得a18，a2826练习3. 若正数组成等比数列，则一定是 （ ）A. 等差数列 B.既是等差数列有是等比数列 C. 等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】设公比为q，因为a,b,c组成等比数列，则b2=ac，log2a+log2c=log2ac= log2aaq2=log2a2q2=2log2aq=2log2b，所以log2a，log2b，log2c成等差数列.等比数列中等比中项的的简单应用.等比数列的性质1、 通项公式的推广：an=amqn-m m、nN+ 2、等比数列的项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、qN*)，
9、则aman=apaq.特别地，当m+n=2p(m、n、pN*)时，则aman=ap2.1、等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即a1an=a2an-1=akan-k+1=an+122（n为正奇数）.3、等比数列的运算数列的性质（1）若an是公比为q的等比数列，则：can(c是非零常数)是公比为cq的等比数列；an是公比为q的等比数列；（2）若an、bn分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列anbn是公比为q1q2的等比数列.例4.在等比数列an中，a1=-16，a4=8，则a7=（）A. -4 B. 4 C. -
10、2 D. 2【答案】A【解析】由等比数列的性质，得a42=a1a7，a7=a42a1=64-16=-4.练习1.在等比数列an中，若已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.【答案】32【解析】a3a4a5=8，又a3a4a5=a43，a4=2，a2a3a4a5a6=a45=25=32.练习2.已知等比数列an中a2a6a10=1，求a3a9.【答案】1【解析】由等比数列的性质，得a3a9=a2a10=a62，又a2a6a10=1，a63=1， a6=1，a3a9=1.练习3. 对于任意的等比数列an，下列说法一定正确的是（ ）.A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等
11、比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 【答案】D【解析】由等比数列性质若m+n=2p(m、n、pN*)时，则aman=ap2.q，得a62=a3a9，a3，a6，a9成等比数列.主要考查等比数列的性质“若m+n=2p(m、n、pN*)，则aman=ap2”的灵活应用.例5.已知an是等比数列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q为整数，则公比q为（ ）A.2 B.-2 C.12 D.- 12【答案】B【解析】a4a7=a3a8=-512，又a3+a8=124，所以a3=-4a8=128，或a3=128a8=-4. 因为公比为整数，故a3=-4a8=
12、128.q5=a8a3=-32，q=-2.练习1. an为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.【答案】64或1【解析】an为等比数列，a1a9=a3a7=64，又a3+a7=20， a3、a7是方程t2-20t+64=0的两个根.a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20，1+q4=5，q4=4.当a3=16时，a3+a7=a3+a3q4=20，1+q4=54，q4=14.a11=a3q8=64或1练习2.公差不为零的等差数列an中，2a3-a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且 b7=a7，则b6b8= .【答案】16【解析】2a3-a72+2a11=2a3+a11-a72=4a7-a72=0， b7=a70， b7= a7=4，b6b8=a72=16.主要考查等比数列的性质“若m+n=p+q(m、n、p、qN*)，则aman=apaq”以及通项公式的推广 的灵活应用.1、等比数列的概念及性质2、等比数列概念及性质的应用
