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1、第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系1.了解直线与圆锥曲线的几种位置关系及判定方法.2.能够处理直线与圆锥曲线的几类常见问题.3.掌握直线与圆锥曲线问题的一般解题步骤.1.弦长公式及其应用是重点.2.直线与圆锥曲线的几类常见问题是高考热点，也是难点.3.注意几类常见问题的常用解题思路.直线与圆锥曲线位置关系1. 直线与椭圆的位置关系可分为：(1)相交：直线与圆锥曲线有两个不同的公共点;(2)相切：直线与圆锥曲线有且只有一个公共点（也可以看成两个公共点重合为一点）;(3)相离：直线与圆锥曲线没有公共点2. 这三种位置关系的判定条件可归纳为：第一步：设直线：，椭圆方程：，由;第二步：消去（或消去）得：
2、;第三步：判断 相交； 相离； 相切例1.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】由，得，由于，所以直线与椭圆相交，故选择A练习1. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】解法一：由，得，由于，所以直线与椭圆相交，故选择A解决直线与圆锥曲线位置问题，一般的思路是联立直线与曲线方程，通过化简后的一元二次方程根的个数来判断两者位置关系。例2. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】解法一：由，得，由于，所以直线与椭圆相交，故选择A解法二：画
3、出椭圆，如下图，由题意可知，直线经过定点，所以无论取何值，直线与椭圆总有两个交点，故选A练习1. 已知直线，双曲线，则直线与双曲线的交点个数不可能为()A0 B1 C2 D以上结果都有可能【答案】C【解析】解法一：由，得 当时，方程无解；当时，方程有一个解，同时由于方程为一次方程，所以不可能有2个根，即直线与双曲线交点个数不可能为2，故选C解法二：画出双曲线图象，如图易知双曲线的渐近线为，而直线的恰好与一条渐近线平行，所以直线与双曲线不可能有两个交点，故选C练习2.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是()A B C D【答案】D【解析】由，得，因为直线与双曲线右支交于不同的两点
4、，所以解得，所以选D解决直线与圆锥曲线位置问题，除了一般的思路，也可以根据题意，结合直线和圆锥曲线的几何特征，才用几何法解题，有时会得到意想不到的效果例3. 已知直线经过点且与抛物线相切，求直线的方程【答案】或【解析】当直线的斜率不存在时，即，易知此时直线与抛物线相交，故可设直线的斜率为，结合题意可设，由，消去，得 ，当时，有，可知直线与抛物线交于点，当时，方程判别式，解得当，故直线的方程为或练习1. 已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A BC D【答案】D【解析】显然，直线的方程可写为，代入抛物线方程得：，此方程无解则在遇到直线与抛物线相交问题时
5、，可以选择消去，有时可简化计算量。直线与圆锥曲线常见问题1.弦长问题(1)定义：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦(2)弦长求法：求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）2.面积问题(1)三角形面积问题：普通三角形面积问题：第一步：通过直线方程，利用弦长公式求出第二步：利用点到直线距离公式表示高：第三步：表示三角形面积：焦点三角形的面积由于的值是已知的，所以的面积为(2)平行四边形的面积（选讲）直线为，直线为(
6、3)面积范围问题(难)首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想均值不等式：变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等3.垂直问题垂直问题一般是利用斜率公式及韦达定理求解。设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，常见的垂直问题有以下几种：(1)则，(2)若,则(3)若4.其它问题从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质例4.直
7、线与双曲线相交于两点、，则=_【答案】【解析】联立，消去得：，设，则，由弦长公式可得 练习1. 直线与椭圆相交于两点、，则=_【答案】【解析】联立，消去得：，设，则，由弦长公式可得说明：此题也可以解出，从而，再由两点间距离公式求解。弦长问题求解可以利用弦长公式，通过设而不求的思想解题，也可以根据实际情况解出交点的坐标，通过两点间距离公式求解。例5.已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（）求椭圆的方程； （）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程【答案】（）；（）【解析】（）由题意可知，容易得到，故椭圆的方程为（）由（）可知，当直线斜率不存在时，即，容易验证
8、此时，不满足题意；故可设直线的斜率为，即直线方程为，由消去，可得，设，则，所以原点到直线的距离，所以，解得，所以直线的方程为练习1.直线与椭圆相交于两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】已知直线方程，画出椭圆与直线的图象，如下图，易知，若，易知点到直线的距离，设到直线距离为的直线方程为，则有，解得，故所求直线方程为或，容易得到这两条直线和椭圆交点个数为2个，从而得到满足条件点的个数为2个，选择B练习2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上（）求椭圆的方程；（）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆
9、心且与直线相切的圆的方程【答案】（）；（）【解析】（）由知，由解得，所以椭圆的方程为（）当直线，计算得到，不符合题意；当直线不垂直于时，设直线方程为：，由，消去得，显然，设，则，又圆的半径，所以，整理得，即，解得，所以，故圆的方程为：直线与圆锥曲线相交成三角形时，三角形面积一般以直线与圆锥曲线相交的弦长为底，顶点到直线的距离为高来表示。例6.已知椭圆过点和点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程【答案】C【解析】（1）由于椭圆经过和点，所以，解得，所以椭圆的方程为（2）由题意知直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为，由，消去并整理得，由，设，则由，知，所以化简
10、得，满足，所以，所以直线的方程为练习1.已知为椭圆上不平行于轴的弦，若的垂直平分线交轴于点，则的取值范围是_【答案】【解析】设，则由垂直平分线性质可知，故有，即，所以 ，由于在椭圆上，故，两式作差并整理得： ，联立，得，由于，所以练习2.已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离的和为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；【答案】（）；（）【解析】（）依题意可得，又，可得所以椭圆方程为（）设直线的方程为，由可得设，则，可得设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得可得，又，所以直线与圆锥曲线相交垂直问题，主要从切
11、入点为两垂直直线的斜率相乘等于，在遇到线段相等时，可通过等腰三角形三线合一的知识转化成垂直问题解决。例7.已知椭圆C:，过点,离心率为.（）求椭圆的方程； （）是否存在过点的直线与椭圆交于两个不同的点，且使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）【解析】（）由题意知，解得，所以椭圆方程为（）因为，所以为中点，设，则 (1)当直线的斜率不存在时，不符合条件，此时方程不存在；(2) 当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，消去并整理得，解得， ， ，由可得，故，综上可知：存在这样的直线的方程为：练习1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是（）求椭圆的标准方程；（）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.【答案】（）；（）【解析】（）设椭圆方程为，由已知得，解得，故椭圆的标准方程为（）由题意可知，(1)若直线的斜率不存在，则过点的直线方程为，此时，显然不成立；(2) 若直线的斜率存在，设直线方程为，由，消去并整理得，设，则 ， ，因为，所以，则 ，联立，解得，所以直线的方程为根据题中条件，找到直线与圆锥曲线位置关系中的等量关系，是解题的关键1.直线与圆锥曲线位置关系及其判定.2.直线与圆锥曲线相交若干常见问题
