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1、 第1讲 空间几何体的结构与体积1.了解多面体和旋转体的结构特征.2.能够熟练的辨析多面体旋转体的定义.3.掌握空间几何体的表面积公式和体积公式.1.棱锥、棱锥、棱台的概念是重点.2.旋转体中的相关最值问题是难点.3.体积公式要熟练，尤其是球体的体积公式.多面体的结构和特征1. 多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体2棱柱(1)棱柱的定义 一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点(2)棱柱的本质特征：两个底面是全
2、等的多边形，且互相平行；其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行(3)正棱柱底面是正多边形，每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱3.棱锥(1)棱锥的定义 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。由棱柱的一个底面收缩而成的点叫棱锥的顶点。原棱柱的底面叫棱锥的底面。原棱柱的侧面收缩后的面叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱(2)棱锥的本质特征： 有一个面是多边形； 其余各面是有一个公共顶点的三角形(3)正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥4.棱台(1)棱台的定义 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫棱台。原棱锥的
3、底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱(2)棱台的本质特征 上、下底面平行，且是相似多边形； 各侧面是梯形； 各侧棱延长后交于一点(3)正棱台 用正棱锥截得的棱台叫做正棱台例1.指出所给两个几何图形的面、顶点、棱，并指出它们分别由几个面围成，各有多少条棱？多少个顶点？【答案】(1)中，面SAB、面SBC、面SCD、面SAD、面ABCD，共5个，棱SA、SB、SC、SD、AB、BC、CD、DA，共8条，顶点S、A、B、C、D，共5个(2)中，面ABCD、面A1B1C1D1、面ABB1A1、面BCC1B1、面CDD1C1、面DAA1D1，共6
4、个，棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、A1A、B1B、C1C、D1D，共12条，顶点A1、B1、C1、D1、A、B、C、D，共8个【解析】认识构成空间几何体的基本元素练习1.下列说法：任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；一个几何体可以没有顶点；一个几何体可以没有棱；一个几何体可以没有面其中正确的个数是()A1B2C3D4【答案】B【解析】空间几何体是一个封闭的图形对空间几何体要先有一个宏观的认识。了解构成空间几何体的基本元素。例2.下列几何体中是棱柱的个数为()A1B2C3D4【答案】C【解析】为棱柱，故选C.练习1.面没有体对角线的一种几何体是()A三棱柱 B
5、四棱柱 C五棱柱 D六棱柱【答案】A【解析】体对角线不能在面上练习2.棱柱的侧面都是()A三角形 B四边形C五边形 D矩形【答案】B【解析】根据棱柱的定义去判断练习2.给出下列三个命题，其中正确的有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0个 B1个C2个 D3个【答案】A【解析】根据柱体的定义，可以判断所有的都不对。根据定义辨析与判断是本部分的难点。要结合定义，逐个突破。旋转体的结构和特征1.圆柱 (1)圆柱的定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做
6、圆柱如右图，旋转轴叫圆柱的轴；垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线(2)圆柱的简单性质平行于底面的截面是与底面大小相同的圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形；圆柱的侧面展开图是矩形2.圆锥(1)圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，直角三角形旋转一周形成的几何体叫圆锥如右图，轴为，底面为，母线为或,叫做圆锥的顶点，(或)叫底面的半径，线段是圆锥的高(2)圆锥的简单性质平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰三角形；圆锥的侧面展开图是扇形3.圆台(1)圆台的定义 以直角梯形垂直于
7、底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边的长度叫圆台的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；不垂于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆台的母线(2)圆台的简单性质平行于底面的截面都是圆面；过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形；圆台的侧面展开图是扇环4.球(1)球的定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球 如右图，半圆的圆心叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面(2)球的简单性质 用一个平面去截球，截面是
8、圆面，而且球心和截面圆心的连线垂直于截面，球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径有下面的关系：5.旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体6.简单组合体常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图（2）所示的组合体.例3.下列说法错误的是_(填序号)(1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面；(2)直线绕着一个
9、点转动，只能形成曲面；(3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离，其轨迹是长方体【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)错误水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面(2)错误直线绕一个点左右转动也能形成平面(3)错误矩形上各点沿铅垂线方向移动相同的距离，其轨迹才形成长方体练习1.如图所示，画出中线段L绕着直线l旋转一周形成的曲面【答案】【解析】根据旋转体的定义和空间想象做出图形即可。练习2.下列说法不正确的是()A圆柱的平行于轴的截面是矩形B圆锥的过轴的截面是等边三角形C圆台的平行于底面的截面是圆面D球的任意截面都是圆面【答案】B【解析】当圆锥的母线长与底面圆的直径不相等时，过圆锥的轴的
10、截面是等腰三角形，但不是等边三角形旋转体中台体教材是用截面定义的。用旋转也可以。例4.半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的轨迹是()A球 B球面C球或球面 D以上均不是【答案】B【解析】球体要求的空间想象能力更高，一般用横截面研究它的数量关系。练习1. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是()【答案】D【解析】球体截面的空间想象能力的训练。练习2.如图(1)所示的几何体是由如图(2)所示的哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的？()【答案】A【解析】空间想象能力的训练。旋转体重视旋转轴，旋转角度（一般是一周）。体积与表面积一、展开图定义 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些
11、棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图二、特殊几何体的定义1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥 正棱锥的性质：（1）正棱锥的侧棱相等；（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）侧棱、高、底面构成直角三角形4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台正棱台的性质：（1）正棱棱台的侧棱长相等（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形三、侧面积与表面积公式1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公
12、式(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧 12nah=12ch.即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a、周长为c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧12n(a+a)h=12(c+c)h.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表S底S侧.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式(1)S圆柱侧2rl(r为底面
13、半径，l为母线长)(2)S圆锥侧rl (r为底面圆半径，l为母线长)(3)S圆台侧(R+r)l (R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表S底S侧.(5) 若圆锥底面的半径为，侧面母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为则， 3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球4R2.即球面面积等于它的大圆面积的4倍四、体积1.长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体abc2棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体Sh.(2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱
14、r2h.3棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体13Sh.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥13r2h.4棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S、S，高是h，则它的体积是V台体13h(S+S+SS).(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r、r，高是h，则它的体积是V圆台13h(r2+r2+rr).5球的体积：如果球的半径为R，那么球的体积V球43 r3.6祖暅原理：幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等7. 球面距离：在球面上，两点之
