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1、第5讲 函数的单调性 1.理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；2.能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题.1.函数奇偶性的概念及图象特征是重点；2.函数的奇偶性的判断方法及其性质的简单应用是难度._函数奇偶性的定义一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，
2、如奇函数f（x），当x0时，f（x）x2x，那么当x0时，x0，有f（x）（x）2（x）f（x）x2xf（x）x2x 3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况求参数或者求函数的表达式二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称2.点拨（1）运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3bx2cxd，那么ac是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（
3、2）0，周期为2，那么在区间（2，8）函数与x轴至少有几个交点3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用例1. 下列四个命题：（1）f（x）1是偶函数；（2）g（x）x3，x（1，1是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）f（x）g（x）一定是奇函数；（4）函数yf（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A1B2C3D4练习1. 已知yf（x）（xR）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A（a，f（a）B（a，f（a）C（a，f（a）D（a，f（a）练习2. 如果f（x）是定义在R上的奇函数，
4、那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ayxf（x）Byxf（x）Cyx2f（x）Dyx2f（x）例2. 已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a ，b 练习1. 已知函数f（x）ax3bx1，若f（a）8，则f（a） 练习2. 定义在（1，1）上的奇函数f（x），则常数m，n例3. 设f（x）是R上的奇函数，且当x（0，）时，f（x）x（1）1，则f（x）表达式为 练习1. 已知函数yf（x）为R上的奇函数，当x0时，求f（x）在R上的解析式练习2. 已知f（x）是R上的奇函数，且当x（0，）时，则f（x）的解析式为 函数奇偶性的证明一、 判断奇偶性的方法1.定义法首
5、先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有，则函数是偶函数，如果有，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2.求和判别法如果对于定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.3.作差判别法对于函数定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.4.作商判别法对于函数定义域内的任意一个，设，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.二、 点拨1. 对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以判断过程中，多要用赋值法，常赋一些特殊值.2.
6、对于分段函数的奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，在考虑定义，由于它是分段函数，所以分类讨论例4. 函数f（x）（x1）.，x（1，1）奇偶性为 练习1. 在直角坐标系中，函数yx23|x|1的图象关于 对称练习2. 判断函数f（x）2x5在（，）内的奇偶性例5. 判断下列函数的奇偶性（1）f（x）a （aR）（2）f（x）（1x）33（1x2）2（3）f（x）练习1. 判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）f（x）函数奇偶性的图象性质一、 函数奇偶性的函数特征1. 奇函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）m时，f（x）m.2. 偶函数的图象特征偶函数的图象关于y轴
7、对称，它的特点是当f（x）n时，f（x）n二、 点拨由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例：若奇函数f（x）在区间1，3内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间3，1内的最值 解：由奇函数的性质可知，f（x）在3，1上位单调递增函数，那么最小值为f（3）f（3）7；最大值为f（1）f（1）4三、 命题方向本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结.例6. 下列说法中不正确的是（）A图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图象一定经过原点C偶函数的图象若不经过原点，则它
8、与x轴交点的个数一定是偶数D图象关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数练习1. 下列结论中正确的是（）A偶函数的图象一定与y轴相交B奇函数yf（x）在x0处有定义，则f（0）0C定义域为R的增函数一定是奇函数D图象过原点的单调函数，一定是奇函数例7. 已知函数f（x）是定义在（，0）（0，）上的奇函数，在（0，）上单调递减，且f（2）0，若f（x1）0，则x的取值范围为 练习1. 若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（，0）上是增函数，又f（2）0，则不等式xf（x1）0的解集为 函数奇偶性综合一、 奇偶性的综合对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说
9、关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用二、 奇偶性的性质1. 奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；2. 奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；3. 偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；4. 对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）为奇函数，那么a解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）f（x）a15.已知函数若是奇函数，则；若是偶函数，则.6.常见结论奇函数奇函数=偶函数奇函数偶函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数三、 命题方向奇偶性与单调性的综合.例8. 已知奇函数yf（x）定义在1，1上，且在定义域内是减函数，若f（a2a1）f（4a5）0，求实数a的取值范围练习1. 定义在1，1上的函数yf（x）是增函数且是奇函数，若f（a1）f（4a5）0求实数a的取值范围练习2. 已知奇函数f（x）是定义在（2，2）上的减函数，若f（m1）f（2m1）0，则实数m的取值范围是 练习3. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）（|xa2|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，
