《知名机构高中讲义 [20170901][必修四 第1讲 三角函数的概念]讲义教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20170901][必修四 第1讲 三角函数的概念]讲义教师版.pdf（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 1 讲三角函数的概念 1 理解任意角与象限角的概念 2 理解弧度制的意义 掌握角度制和弧度制的互化 会利用弧度制解决具体问题 3 掌握任意角三角函数的定义 包括三角函数值在各象限内的符号 4 牢记特殊角的三角函数值 5 掌握三角函数线的概念 6 掌握同角三角函数基本关系式 7 理解并掌握诱导公式的内含及结构特征 1 正角 负角 象限角 终边相同的角 的含义是重点 2 任意角的三角函数定义 包括三角函数值在各象限内的符号 是重点 3 同角三角函数基本关系式是重点 4 诱导公式的推导和应用是重点 5 正弦 余弦 正切线的应用是难点 6 如何应用三角函数基本关
2、系式对三角式进行化简和证明是难点 7 相关边角的几何关系及诱导公式结构特征的认识是难点 高一数学 2017 秋季 第 2页 高一数学 2017 秋季 第 3页 任意角的概念与弧度制 一 角的概念的推广 1 角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 按逆 时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 射线没有作任何旋 转时 我们也把它看成一个角 叫做零角 2 象限角与轴线角 使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴正半轴重合 角的终边在 第几象限就称为第几象限角 若终边落在坐标轴上 认为这个角不属于任何象限 称为轴线 角或象限界角 1 第一象限角的集合为
3、 Zkkk 90360360 2 第二象限角的集合为 Zkkk 18036090360 3 第三象限角的集合为 Zkkk 270360180360 4 第四象限角的集合为 Zkkk 360360270360 5 终边在x轴正半轴上的角的集合为 Zkk 360 6 终边在x轴负半轴上的角的集合为 Zkk 180360 7 终边在y轴正半轴上的角的集合为 Zkk 90360 8 终边在y轴负半轴上的角的集合为 Zkk 270360 9 终边在x轴上的角的集合为 Zkk 180 10 终边在y轴上的角的集合为 Zkk 90180 11 终边在坐标轴上的角的集合为 Zkk 90 3 终边相同的角的表示
4、 所有与角 终边相同的角 连同 角本身组成一个集合 这个 集合可记为 Zkk 360 1 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 2 终边相同的角有无数个 它们相差 360的整数倍 二 弧度制和弧度制与角度制的互化 1 弧度制的概念 我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用符号 高一数学 2017 秋季 第 4页 rad表示 读作弧度 用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制 用角度作为单位来度 量角的制度叫做角度制 2 弧度制的性质 1 半圆所对的圆心角为 r r 整圆所对的圆心角为 2 2 r r 2 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零
5、 3 角 的弧度数的绝对值 r l 3 角度与弧度的互化 1 将角度化为弧度 2360 180 rad01745 0 180 1 rad n n 180 2 将弧度化为角度 3602 180 180 1 rad 180 n radn 4 角度与弧度对应表 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 2 5 扇形的弧长与面积公式 1 弧长公式 因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长r 2 所以 1 的圆心角所对 的弧长是 180360 2rr 于是可得半径为 R 的圆中 n 的圆心角所对的弧长 180 rn l 在弧
6、长公式中 n表示 1的圆心角的倍数 n和180都不带单位 度 在弧长公式中 已知rnl 中的任意两个量 都可以求出第三个量 2 扇形面积公式 如图所示 阴影部分的面积就是半径为r圆心角为 n的扇形面积 显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分 因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 2 r 所以圆心角为 1 的扇形面积是 360 2 r 由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是 高一数学 2017 秋季 第 5页 360 2 rn S 扇 又因为扇形的弧长 180 rn l 扇形面积 360 2 rn 可以写成r rn 180 2 1 所以又得 到扇形面积的另一个计算公式 rlS 2 1 扇
7、例 1 给出下列说法 锐角都是第一象限角 第一象限角一定不是负角 第 二象限角是钝角 小于180 的角是钝角 直角或锐角 三角形的内角一定是第一 二 象限角 钝角不一定是第二象限角 其中正确命题的序号为 把正确命题的序号都 写上 答案 解析 锐角是大于0 且小于90 的角 终边落在第一象限 所以 正确 330 角是第一象限角 但它是负角 所以 不正确 480 角是第二象限角 但它不是钝角 所以 不正确 0 角小于180 角 但它既不是钝角 也不是直角或锐角 故 不正确 当三角形内角为90 时 不是第一象限也不是第二象限 钝角是大于90 且小于180 的角 所以钝角一定是第二象限角 下列说法中正
8、确的序号是 不相等的角 终边一定不相同 第一象限角必是锐角 小于90 的角一定是锐角 钝角一定是第二象限角 答案 高一数学 2017 秋季 第 6页 解析 90 和450 角不相等但是终边相同 所以 错 380 角是第一象限角 但不是锐角 380 小于90 但是 380 是第一象限角 所以 错 钝角一定是第二象限角 练习 2 下列说法正确的是 A 终边与始边重合的角是零角 B 钟表的时针旋转而成的角是正角 C 第二象限角不一定是钝角 D 终边相等的角一定是相等角 答案 C 解析 A 零角是不做任何旋转的角 所以 错 B 钟表是顺时针旋转 所以旋转而成的角是负角 所以 错 C 480 角是第二象
9、限角 且不是钝角 所以 对 D 90 和450 角是终边相等的角 但是它们不相等 所以 错 本节重点是理解任意角 象限角和轴线角的定义 例 2 与 457 角终边相同的角的集合是 A Zkk 457360 B Zkk 97360 C Zkk 263360 D Zkk 263360 答案 C 解析 457 角与 97 角终边相同 又 97 角与263 角终边相同 又263 角与k 360 263 角终边相同 应选 C 在720 360 范围内与 1020 终边相同的角有 答案 660 300 60 解析 与 1020 终边相同的角 1020360 Zkk 高一数学 2017 秋季 第 7页 令7
10、203601020360k 解得 6 23 6 5 k 而Zk 321 k 当1 k时 660 当2 k时 300 当3 k时 60 故在 360 720 范围内与 1020 终边相同的角有三个 分别是 660 300 60 练习 2 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 答案 k 180 k Z 解析 由于 在一直线上 因此 角终边相同或互为反向延长线 它们相差180 的 整数倍 所以 k 180 k Z k 180 k Z 区分锐角 终边相同的角和相等角的概念是本节的重点 利用终边相同的角的概念解题 是本节的难点 例 3 已知 是第四象限角 则 2 是 A 第二象限角 B 第一或
11、第二象限角 C 第二或第三象限角 D 第二或第四象限角 答案 D 解析 解法一 是第四象限角 Zkkk 360360360270 Zkkk 180180 2 180135 当k为偶数时 2 是第二象限角 当k为 奇数时 2 是第四象限角 解法二 等分象限法 将平面直角坐标系中的每一个象限进行二等分 从x轴右上方开始在 每一等份依次标数字4321 如图所示 是第四象限角 图中标有数字4的位 置即为 2 的终边所在位置 故 2 是第二或第四象限角 高一数学 2017 秋季 第 8页 若 是第四象限角 则180 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 答案 C 解析 由 是第四
12、象限角知 270 k 360 360 k 360 k Z 由此可得 180 k 360 180 2 弧长为l 由题意得 2R l 10 1 2Rl 6 解得 R 3 l 4 圆心角 l R 4 3 rad 故这个扇形的半径为3 圆心角 的弧度数为4 3 rad 练习 2 2015 山东临沂市高一期末测试 已知扇形的圆心角的弧度数为2 其弧长也是2 则 该扇形的面积为 A 1B 2C sin1D 2sin1 答案 A 解析 设扇形的半径为R 则2 R 2 R 1 故该扇形的面积 S 1 2lR 1 2 2 1 1 角度制和弧度制的互化是重点 扇形弧长公式和面积公式的应用是易错点 学生应理解 记忆
13、扇形弧长公式和面积公式 任意角的三角函数 1 三角函数的定义 在直角坐标系中 设 是一个任意角 终边上任意一点 P 除了 原点 的坐标是 yx 它与原点的距离为0 22 2 2 yxyxr 那么 高一数学 2017 秋季 第 10页 1 比值 r y 叫做 的正弦 记做 sin 即 22 sin yx y r y 2 比值 r x 叫做 的余弦 记做 cos 即 22 cos yx x r x 3 比值 x y 叫做 的正切 记做 tan 即 x y tan 4 比值 y x 叫做 的余切 记做 cot 即 y x cot 说明 的始边与x轴的非负半轴重合 的终边没有标明 一定是正角或负角 以
14、及 的大小 只标明与 的终边相同的角所在的位置 根据相似三角形的知识 对于确定的角 六个比值不以点 yxP在 终边上的位 置的改变而改变大小 当Zkk 2 时 的终边在y轴上 终边上任意一点的横坐标x都等于零 所以 x y tan无意义 同理 当Zkk 时 的终边在x轴上 终边上任意一点 的纵坐标y都等于零 所以 y x cot无意义 除以上两种情况外 对于确定的值 比值 r y r x x y 和 y x 分别是一个确定的实数 所以正弦 余弦 正切和余切都是以角 为自变量 以比值为函数值的函数 2 三角函数值对应表 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270360
15、 弧度0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 高一数学 2017 秋季 第 11页 3 三角函数的定义域和值域 函数定义域值域 xysin R 1 1 xycos R 1 1 xytan Zkk 2 R 4 三角函数值的符号 由三角函数的定义以及各象限内点的坐标符号 可以得知 1 正弦值 22 sin yx y r y 对于一 二象限为正 0 0 ry 对于三 四象 限为负 0 0 ry 2 余弦值 22 cos yx x r x 对于一 四象限为正 0 0 rx 对于二 三象 限为负 0 0 rx 3 正切值 x y tan对于一 三象限为正 0 yx 对于二 三象限为负 0
16、 yx 4 当终边落在轴线上 可以通过三角函数定义求值 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 010 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 01 tan 0 3 3 13无3 1 3 3 0无0 高一数学 2017 秋季 第 12页 5 三角函数线 1 单位圆 在平面直角坐标系上 圆心为原点 半径为单位长度的圆 2 有向线段 坐标轴是规定了方向的直线 那么与之平行的线段亦可规定方向 规定 与坐标轴方向一致时为正 与坐标轴方向相反时为负 3 三角函数线的定义 设角 的顶点在坐标原点O 始边与x轴非负半轴重合 终边 与单位圆相交于点 yxP 过点P做x轴的垂线 垂足为M 过点A 1 0 做单位圆的 切线 它与角 的终边或其反向延长线交于点T 由四个图可以看出 当角 的终边不在坐标轴上时 有向线段xOM yMP 于是有 MPy y r y 1 sin OMx x r x 1 cos AT OA AT OM MP x y tan 我们分别称有向线段MP OM AT为正弦线 余弦线和正切线 说明 三条有向线段的
