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1、第5讲 函数的奇偶性 1.理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；2.能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题.1.函数奇偶性的概念及图象特征是重点；2.函数的奇偶性的判断方法及其性质的简单应用是难度.函数奇偶性的定义一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如
2、奇函数f（x），当x0时，f（x）x2x，那么当x0时，x0，有f（x）（x）2（x）f（x）x2xf（x）x2x 3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况求参数或者求函数的表达式二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称2.点拨（1）运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3bx2cxd，那么ac是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（2
3、）0，周期为2，那么在区间（2，8）函数与x轴至少有几个交点3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用例1. 下列四个命题：（1）f（x）1是偶函数；（2）g（x）x3，x（1，1是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）f（x）g（x）一定是奇函数；（4）函数yf（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】（1）f（x）f（x）1，故结论正确；（2）定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数，故假命题；（3）H（x）f（x）g（x）f（x）g（x）H（x），故结论
4、正确；（4）f（|x|）f（|x|），函数yf（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称，结论正确；故选C练习1. 已知yf（x）（xR）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A（a，f（a）B（a，f（a）C（a，f（a）D（a，f（a）【答案】C【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，且f（x）f（x），故f（a）f（a）即在f（x）上的点是（a，f（a）故选 C练习2. 如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ayxf（x）Byxf（x）Cyx2f（x）Dyx2f（x）【答案】B【解析】f（x）是奇函数，f（x）f（x）对于A，g（x）xf（x）xf（x）g（x），yx
5、f（x）是奇函数对于B，g（x）xf（x）xf（x）g（x），yxf（x）是偶函数对于C，g（x）（x）2f（x）x2f（x），yx2f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（x）（x）2f（x）x2f（x）g（x），yx2f（x）是奇函数故选B函数奇偶性用定义判断，看f（x）和f（x）的关系，注意奇偶函数的定义域的对称性，若定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数例2. 已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a ，b 【答案】，0【解析】定义域应关于原点对称，故有a12a，得a又f（x）f（x）恒成立，即：ax2bx3abax2bx3abb0故答案为：，0练习1. 已知函
6、数f（x）ax3bx1，若f（a）8，则f（a） 【答案】6【解析】函数f（x）ax3bx1，f（x）a（x）3b（x）1ax3bx1，f（x）f（x）2，f（a）f（a）2f（a）8，f（a）6故答案为6练习2. 定义在（1，1）上的奇函数f（x），则常数m，n【答案】m0，n0【解析】因为函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，所以必定有f（0）m0，此时f（x），函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数得到f（x）f（x），即n0故答案为：m0，n0利用函数的奇偶性的定义求函数解析式中的参数，首先定义域要关于原点对称，二是研讨f（x）与f（x）的关系.例3. 设f（x）是R上的奇函数，
7、且当x（0，）时，f（x）x（1）1，则f（x）表达式为 【答案】见解析.【解析】设x0，则x0，f（x），f（x）x（1）1，又f（x）是R上的奇函数当x0时，f（0）0故答案为：练习1. 已知函数yf（x）为R上的奇函数，当x0时，求f（x）在R上的解析式【答案】见解析【解析】当x0时，x0，f（x）为奇函数f（x）f（x）当x0时f（x）f（x）f（0）f（0）f（0）0（12分）练习2. 已知f（x）是R上的奇函数，且当x（0，）时，则f（x）的解析式为 【答案】见解析.【解析】设x（，0），则x（0，）f（x）x（1）x（1）f（x）是R上的奇函数，f（x）f（x）x（1）即f（x）
8、x（1）而f（0）0综上所述f（x）的解析式为故答案为利用函数的奇偶性求函数的解析式，且用了整体代换的思想，奇函数在x0处f（0）0的性质函数奇偶性的证明一、 判断奇偶性的方法1.定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有，则函数是偶函数，如果有，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2.求和判别法如果对于定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.3.作差判别法对于函数定义域内的任意一个，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.4.作商判别法对于函数定义域内的任意一个，设
9、，若，则函数是奇函数；若，则是偶函数.二、 点拨1. 对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以判断过程中，多要用赋值法，常赋一些特殊值.2. 对于分段函数的奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，在考虑定义，由于它是分段函数，所以分类讨论例4. 函数f（x）（x1）.，x（1，1）奇偶性为 【答案】偶函数【解析】定义域为（1，1），关于原点对称f（x）（1x），f（x）f（x）则函数f（x）为偶函数练习1. 在直角坐标系中，函数yx23|x|1的图象关于 对称【答案】y轴【解析】函数的定义域是R令f（x）x23|x|1f（x）（x）23|x|1x23
10、|x|1f（x）f（x）x23|x|1是一个偶函数由偶函数的性质知函数yx23|x|1的图象关于 y轴对称故答案为y轴练习2. 判断函数f（x）2x5在（，）内的奇偶性【答案】见解析【解析】f（x）2x5，f（1）257，f（1）253，则f（1）f（1）且f（1）f（1），则函数f（x）是非奇非偶函数函数奇偶性的判断，函数奇偶性的定义是解题的关键.例5. 判断下列函数的奇偶性（1）f（x）a （aR）（2）f（x）（1x）33（1x2）2（3）f（x）【答案】见解析【解析】（1）由奇偶性定义当a0时，f（x）0既是奇函数又是偶函数，当a0时，f（x）f（x）a，故是偶函数；（2）f（x）（1
11、x）33（1x2）2x33x，由于f（x）f（x）x33x（x）33（x）0，故f（x）（1x）33（1x2）2是奇函数（3）当x0时，x0，f（x）x（1x）f（x）；当x0时，x0，f（x）x（1x）f（x）；由上证知，在定义域上总有f（x）f（x）；故函数f（x）是奇函数练习1. 判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）f（x）【答案】见解析【解析】（1）由，得定义域为1，1），关于原点不对称，f（x）为非奇非偶函数（2）由得定义域为（1，0）（0，1），f（x）f（x）为偶函数（3）当x0时，x0，则f（x）（x）2x（x2x）f（x），当x0时，x0，则f（x）（x）2x（x2
12、x）f（x），综上所述，对任意的x（，），都有f（x）f（x），f（x）为奇函数利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性，属于基础定义的直接应用对于分段函数奇偶性的判断，需特别注意x与x所满足的对应关系，即判断x0时f（x）与f（x）的关系，也要判断x0时f（x）与f（x）的关系函数奇偶性的图象性质一、 函数奇偶性的函数特征1. 奇函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）m时，f（x）m.2. 偶函数的图象特征偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）n时，f（x）n二、 点拨由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例：若奇函数f（x）在区间1，3内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间3，1内的最值 解：由奇函数的性质可知，f（x）在3，1上位单调递增函数，那么最小值为f（3）f（3）7；最大值为f（1）f（1）4三、 命题方向本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结.例6. 下列说法中不正确的是（）A图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图象一定经过原点C偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D图象关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数【答案】B【解析】对于选项A，奇函数的图象关于原点对称与函数图象
