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1、 高三数学2017秋季 第13讲 计数原理本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握排列组合加法原理与乘法原理C加法原理与乘法原理的综合C排列数与组合数B排列与组合概念区分A排列与组合公式C经典的排列组合模型排列组合的经典模型C模型的综合应用C排列组合的思想B排列组合的综合应用A二项式定理二项式定理C杨辉三角A项与系数C二项式定理的应用B1. 加法原理和乘法原理的简单应用；2. 排列与组合的经典模型以及模型的各种变式；3. 二项式定理的项、系数、二项式系数，最大项以及最小项的求法。排列组合一、加法原理与乘法原理1.加法原理：做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m1种方法，第二类中有m2种方
2、法，第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。二、运用两个基本原理时要注意以下几点：1.抓住两个基本原理的区别不要用混，不同类的方法（其中每一个方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一个方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法。2.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则。如：从若干件产品中抽出几件产品来检验，把抽出的产品中至多有2
3、件次品的抽法分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有一件次品，这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况。又如：把能被2、被3或被6整除的数分为三类：第一类能被2整除的数，第二类能被3整除的数，第三类能被6整除的数，其中第一类、第二类都和第三类有重复，这样分类是不行的。3.在运用乘法原理时，要注意每个步骤都做完这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，在下个步骤中都得有m种不同的方法。三、原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此
4、之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是: , 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我
5、们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步强调知识的综合是近年的一种可取的现象两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 【教师备案】1.考点：加法原理与乘法原理的的应用场合的区分。 2.意图与目的：应用加法原理和乘法原理的思想分析解决数学统计问题。 3.重难点：（1）加法原理与乘法原理的混合应用。（2）加法原理与乘法原理的思想应用 4.知识层面：属于A难度的基础知识 例1. 某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一
6、门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有( )A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.练习1. 现有6名同学同时去听进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是ABCD【答案】A【解析】因为每个同学可自由选择一个讲座，所以一共有种练习2. 用这个数字，可以组成_个大于，小于的数字不重复的四位数【答案】175【解析】 分四类： 千位数字为之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）
7、； 千位数字为，百位数字为之一时，共有（个）； 千位数字是，百位数字是，十位数字是之一时，共有（个）； 最后还有也满足条件 所以所求四位数共有（个）区分加法原理和乘法原理的应用条件，加法原理强调分类，乘法原理强调分步.例2. 某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数为（ ）A. 11 B. 30 C. 56 D. 65【答案】B【解析】不同的组队总数为 ,选B.练习1. 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）A. 43种 B. 34种 C. 432种 D. 123种【答案】B【解析】因为3科老师都布置了作业，在同一时
8、刻每个学生做作业的情况有3种可能，所以4名学生都做作业的可能情况3333=34种故选B练习2. 某单位拟安排位员工在今年月日至日（端午节假期）值班，每天安排人，每人值班天若位员工中的甲不值日，乙不值日，则不同的安排方法共有（ ）A种B种C种D种【答案】C【解析】分两类：甲、乙同组，则只能排在15日，有种排法甲、乙不同组，有种排法，故共有42种方法加法原理与乘法原理的综合应用，注意分类与分步的思想的应用.经典的排列组合模型一、排列组合基本知识网络1排列、组合、二项式知识相互关系表2、排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（其中被取
9、的对象叫做元素）排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示排列数公式：，并且全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定：（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系 =n(n1)(nm+1)；（3）全排列列： =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；3、组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫
10、做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示组合数公式：，并且组合数的两个性质：性质1：；性质2：（规定）（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm=；（3）组合数的性质Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；【教师备案】1.考点：组合数与排列数及其公式的简单应用。 2.意图与目的：本部分核心内容在于排列组合的计算。 3.重难点：排列组合的计算技巧以及相应的公式证明方. 4.知识层面：属于B难度的基础知识二、经典的排列组合模型解排列组合
11、问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排
12、其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法：（选学）个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！8错位法：（选学）编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题9排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用
13、问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答10具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型【教师备案】1.考点：掌握排列组合典型模型 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握不同模型的基本结构以及这些模型的综合应用 3.重难点：掌握不同模型的综合应用
