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1、 第2讲 曲线与方程1.理解曲线与方程的概念，会求简单的曲线方程.2.进一步体会数形结合的基本思想3.掌握曲线与方程的对应关系，初步掌握解析几何的基本思想方法，为进一步研究圆锥曲线与方程奠定基础.1.理解曲线与方程的概念是重点2.掌握求曲线方程的基本方法（直接法、定义法、代入法等）是重点也是难点.曲线与方程一、曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.特别注意：（1）定义中
2、的关系说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”.（2）定义中的关系说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.（3）定义中的关系或仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.二、曲线与方程的概念的理解1、从集合的角度看：曲线可以看作是由满足某些条件的点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以看作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.那么定义中的关系指点集C是点集F的子集；关系指点集F是点集C的子集。这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为且，故.2、从对应的角度来看：曲线方程定义的实质
3、是平面曲线的点集和方程的解集之间的一一对应关系.如下图所示：例1（2014北京模拟）“以方程的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义B正确.练习1（2014苏州调研）命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题中正确的是（ ）A方程的曲线是CB方程的曲线不一定是CC是曲线C的方程D以方程的解为坐标的点都在曲线C上【答案】B【解析】不论方程是曲线C的方程，还
4、是曲线C是方程的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误练习2（2014南宁统考）设方程的解集非空，如果命题“坐标满足方程的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是（ ）A坐标满足方程的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足方程 C坐标满足方程的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足【答案】D【解析】“坐标满足方程的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包含“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，所以ACB错，故选D解决曲线与方程的判定
5、问题（即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线），只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可例2曲线过点则实数k=（ ）A-2 B3 C-2或3 D1或3【答案】C【解析】将点的坐标带入方程得，解得或练习1若曲线过点,则k的取值范围是_【答案】【解析】曲线过点，即练习2方程所表示的曲线是C，多点与点在曲线C上，求m，n的值【答案】C【解析】点与点在曲线上，即，解得或曲线和方程关系的应用是考查重点，凡曲线经过的点的坐标均符合曲线的方程，在解题中要会根据曲线经过的点求解曲线方程中的待定系数例3求曲线与曲线的公共点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】由题
6、意得曲线和曲线的公共点为的解，联立方程组消去得，解得，将带入得，将带入方程无解，两个曲线只有一个公共点，选B练习1曲线与曲线的交点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】曲线即，当时，由得，解得或，带入得或；当时，由得，解得或，带入得或，综上曲线和曲线的交点为，有三个交点，选D练习2（2014年孝感检测）直线与曲线相交于A，B两点，求证：【答案】见解析【解析】设,，将带入，得解得从而可得，而，求两条曲线的交点，一般来说是求两个曲线组成的方程组的解，再根据这个方程组的解来求与之有关的问题求曲线方程的方法一、求曲线方程的基本步骤1、建立适当的直角坐标系，用有序实时对表示曲线上任意一点M
7、的坐标在第一步中，如果原题中没有确定的坐标系，应首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，所得方程也较为简单，在实际解题过程中，建立坐标系时应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，遵循“对称性”和“垂直性”的原则，从而使解题更加简单化2、 写出适合条件P的点M的集合第二步是求解方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注意揭示隐含的条件，抓住与曲线上任意点M有关的等量关系，列出等式3、 用坐标表示，列出方程第三步将几何条件转换为代数方程过程中常用到一些基本公式，如两点间的距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等4、 化方程为最简形式（必须是等价化简）第四步化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避
8、免“失解”和“增解”5、 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上对于第五步“证明”从理论上讲是必要的，但在实际处理上常被省略，如遇到特殊情况可予以说明，例如某些点的坐标虽然适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x，y的取值予以剔除求曲线方程的基本步骤简记为：建系、列式、代换、化简、证明二、求曲线方程的基本方法1、 直接法求曲线方程：如果动点满足几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只要把这种关系转换成数值表达式，通过化简整理便可得到曲线方程，这种求曲线方程的方法我们称之为直接法2、 代入法（相关点法）求曲线方程：当形成曲线的动点随着一个在已知
9、曲线上的动点有规律地运动时，我们利用这种规律就能得到，而满足，就可以得到动点所形成的曲线方程在第一步中，如果原题中没有确定的坐标系，应首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，所得方程也较为简单，在实际解题过程中，建立坐标系时应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，遵循“对称性”和“垂直性”的原则，从而使解题更加简单化3、 定义法求曲线方程：若动点的轨迹满足已知曲线（射线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量4、 参数法求曲线方程（有一定难度，视学生情况讲解）：如果动点的坐标之间关系不易找到，可先考虑将和用一个或几个参数表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法，参数法中
10、通常选择变角或变斜率等为参数5、 交轨法求曲线方程（有一定难度，视学生情况讲解）：在求动点轨迹方程时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用例1如图与的半径都是1，过动点P分别做与的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得，试建立适当直角坐标系，并求动点P的轨迹方程【答案】【解析】如图以为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为,设，则，同理，即，即练习1在平面直角坐标系中，点P到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为d，当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，
11、求点P的轨迹C【答案】见解析【解析】设点，则，当时，由上式得，化简得当时，可得，化简得故点P的轨迹C是曲线:在直线的右侧部分与曲线：在直线的左侧部分（包括它与直线的交点）所组成的曲线练习2设圆C：，过圆点O做圆的任意弦，求所做弦的中点的轨迹方程【答案】（）【解析】设为过中点的任意一条弦，为其中点，则因为中点为,所以，得轨迹方程为，由圆的范围可知直接法求轨迹方程通常给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等求解过程是：设动点的坐标为；按照题目的条件写出关系式；整合关系式；注明变量的取值范围例2已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程【答案】【解
12、析】设，根据题意有，又点在圆C：上运动，有，化简得，动点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆练习1已知中，第三个顶点C在曲线上移动，求重心的轨迹方程.【答案】【解析】设的重心为，顶点C的坐标为，由三角形的重心坐标公式可得：，代入中，得，即为所求的轨迹方程.练习2（2011年陕西卷）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上的投影，M为PD边上的一点，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.【答案】【解析】设点M的坐标为，点P的坐标为，由已知得，因为点P在圆上运动，即C的方程为.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题，而解决此类问题的方法称为代入法或相关点法.此类方
13、法通常需要设两个动点，一个是所求的曲线的动点，通常设为，另一个是在已知曲线上运动的点，可以设为，解题的核心是将曲线上运动的点用待求解的点表示出来在代入已知曲线例3已知定长为4的线段，其端点A、B分别在x轴和y轴上移动，线段AB的中点为M,则点M的轨迹方程是（ ）A B C D【答案】B【解析】作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知，点M的轨迹是以原点O为圆心，以2为半径的圆，所以为练习1到点和到直线距离相等的点的轨迹是（ ）A B C D【答案】C【解析】事实上，点在直线上，所以所求的轨迹就是过点A且垂直于直线的一条直线，求得，选C练习2过定点引直线交圆于M、N两点，求弦MN中点的轨迹方程
14、【答案】【解析】连结，则，点P在以OA为直径的圆上，且在已知圆的内部，其圆心坐标为，半径为2，其方程为.定义法求动点的轨迹方程可简记为四步：定型（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）；定位（焦点位置、圆心位置、半径）；三定方程；定范围其中： （1）在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. （2）平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线所在直线. （3）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆. （4）平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.例4一动圆与：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心轨迹方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】设动圆圆心为，半径为R，动圆与圆：外切，同
