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1、高二数学 2017 秋季 第 1页 第 7 讲直线方程 1 理解直线的倾斜角了解直线倾斜角的概念 掌握直线倾斜角的范围 2 掌握经过两点 111 P x y和 222 P xy的直线的斜率公式 21 21 yy k xx 12 xx 3 掌握直线方程的点斜式 并在此基础上掌握直线方程的斜截式 两点式 截距式 4 能将直线的点斜式 两点式等方程化为直线的一般式方程 1 充分理解倾斜角以及斜率之间的关系联系 灵活运用 2 面对不同问题灵活运用不同的直线方程 3 斜率 截距 点不同类别的考察运用不同的方法是重点 高二数学 2017 秋季 第 2页 直线的斜率以及倾斜角 一 直线的倾斜角一 直线的倾斜
2、角 1 1 定义定义 平面直角坐标系中 对于一条与 的直线 如果把x轴绕着交点按 旋转到和直线重合时所转的 记为 则 叫做直线的倾斜角 2 2 规定规定 当直线和x轴平行或重合时 直线倾斜角为 所以 倾斜角的范围是 二 直线的斜率二 直线的斜率 1 1 定义定义 倾斜角不是 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 常用k 表示 即tank 2 2 注意注意 1 当直线l与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 2 直线l与 x 轴垂直时 90 k 不存在 由此可知 一条直线l的倾斜角 一定存在 但是斜率 k 不一定存在 高二数学 2017 秋季 第 3页 三 斜率公式三 斜率公式 已知
3、点 111 P x y 222 P xy 且 12 PP与x轴不垂直 过两点 111 P x y 222 P xy的 直线的斜率公式 例 1 设直线l与 x 轴的交点为 P 且倾斜角为 若将其绕点 P 按逆时针方向旋转 45 得到直线l的倾斜角为 45 则 A 0 90 B 0 135 C 0 135 D 0 135 练习 1 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确 为什么 练习 2 下列说法正确的是 若两直线的倾斜角相等 则两直线平行或重合 若一直线的倾斜角为 150 则此直线关于 y 轴的对称直线的倾斜角为 30 若 2 3 分别为三条直线的倾斜角 则 不大于 60 若倾斜角 90 则此直线与
4、坐标轴垂直 高二数学 2017 秋季 第 4页 例 2 经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在 求其斜率 1 1 1 3 2 2 1 2 5 2 3 3 4 2 5 4 3 0 3 3 练习 1 直线l过点 A 1 2 B m 3 求l的斜率 例 3 已知两点A 3 4 B 3 2 过点C 2 1 的直线l与线段AB有 公共点 求直线l的斜率k的取值范围 练习 1 如图 若图中直线 321 lll的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3B k3 k1 k2 C k3 k2 k1D k1 k3 k2 高二数学 2017 秋季 第 5页 例 4 已知 A a 2 B 5 1 C
5、 4 2a 三点在同一条直线上 求 a 的值 练习 1 已知三点 A 2 3 B 4 3 5 2 k C在同一条直线上 则 k 高二数学 2017 秋季 第 6页 直线的方程 一一 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 1 1 定义定义 方程 00 xxkyy 由直线上一定点及其斜率决定 我们把 叫做直线的点斜式方程 简称 2 2 注意注意 1 点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的 点斜式的前提是直线的斜率存在 点 斜式不能表示平行于 y 轴的直线 即斜率不存在的直线 2 当直线的倾斜角为 0 时 直线方程为 1 yy 3 当直线倾斜角为 90 时 直线没有斜率 它的方程不能用点斜式表示 这时直线
6、 方程为 1 xx 4 0 0 yy k xx 表示直线去掉一个点 000 yxP 00 xxkyy 表示一条直线 二 直线的斜截式方程二 直线的斜截式方程 1 1 定义 定义 如果直线l的斜率为 且与y轴的交点为 根据直线的点斜式 方程可得 即bkxy 我们把直线l与y轴的交点 0 b的纵坐 标b叫做直线l在y轴上的截距 方程bkxy 由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确 定 所以方程 叫做直线的斜截式方程 简称 2 2 注意注意 1 b 为直线l在 y 轴上截距 截距可以取一切实数 即可以为正数 零 负数 距 离必须大于或等于零 2 斜截式方程可由过点 0 b 的点斜式方程得到 3 当0
7、k时 斜截式方程就是一次函数的表示形式 4 斜截式的前提是直线的斜率存在 斜截式不能表示平行于 y 轴的直线 即斜率不 存在的直线 5 斜截式是点斜式的特殊情况 在方程bkxy 中 k是直线的斜率 b是直线 高二数学 2017 秋季 第 7页 在y轴上的截距 三 直线的两点式方程三 直线的两点式方程 1 1 定义定义 经过两点 222111 yxPyxP 其中 2121 yyxx 的直线方程为 称这个方程为直线的两点式方程 简称 2 2 注意注意 1 这个方程由直线上 确定 2 当直线没有斜率 或斜率为 时 不能用两点式求出它的方程 3 直线方程的表示与 222111 yxPyxP选择的顺序无
8、关 4 在应用两点式求直线方程时 往往把分式形式 11 1212 2121 yyxx xxyy yyxx 通过交叉相乘转化为整式形式 四 直线的截距式方程四 直线的截距式方程 1 1 定义定义 若直线l与 x 轴的交点为 A a 0 与 y 轴的交点为 B 0 b 其中0 0 ba 则过 AB 两点的直线方程为 这个方程称为直线的截距式方 程 a 叫做直线在 x 轴上的 b 叫做直线在 y 轴上的 2 2 注意注意 1 2 求直线在坐标轴上的截距的方法 3 截距相等问题中 勿忽略 即直线过原点时的情况 五五 直线方程的一般式 直线方程的一般式 1 1 定义 定义 关于 x 和 y 的一次方程都
9、表示一条直线 我们把方程写为 这个方程 其中 A B 不全为零 叫做直线方程的 2 2 注意注意 1 A B 不全为零才能表示一条直线 若 A B 全为零则不能表示一条直线 当 B 0 时 方程可变形为 它表示过点0 C B 斜率为 的 直线 高二数学 2017 秋季 第 8页 当 B 0 A 0 时 方程可变形为 Ax C 0 即 它表示一条与 x 轴 的直线 例 5 求满足下列条件的直线方程 1 过点 P 4 3 斜率 k 3 2 过点 A 1 4 倾斜角为 135 3 过点 P 3 4 且与 x 轴平行 4 过点 P 5 2 且与 y 轴平行 练习 1 根据条件写出下列各题中的直线方程
10、1 经过点 A 1 2 斜率为 2 2 经过点 B 1 4 倾斜角为 135 3 经过点 C 4 2 倾斜角为 90 4 经过点 D 3 2 且与 x 轴平行 高二数学 2017 秋季 第 9页 例 6 写出斜率为 2 在 y 轴上截距为 m 的直线方程 当 m 为何值时 直线过点 1 1 练习 2 直线1 22 b y a x 在y轴上的截距是 A bB 2 b C 2 bD b 例 7 三角形的顶点坐标分别为 A 5 0 B 3 3 C 0 2 求这个三 角形三边所在直线的方程 高二数学 2017 秋季 第 10页 练习 1 1 若直线l经过点 A 2 5 B 2 7 则直线l的方程为 2
11、 若点 P 3 m 在过点 A 2 1 B 3 4 的直线上 则 m 的值为 例 8 一直线过点P 5 4 且与两坐标轴围成的三角形面积是 5 求此直线的 方程 练习 1 求过定点 P 2 3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程 高二数学 2017 秋季 第 11页 例 9 根据下列条件分别写出直线方程 并化成一般式 1 斜率为3 且经过点 A 5 3 2 过点 B 3 0 且垂直于 x 轴 3 斜率为 4 在 y 轴上的截距为 2 4 在 y 轴上的截距为 3 且平行于 x 轴 5 经过 C 1 5 D 2 1 两点 6 在 x y 轴上的截距分别是 3 1 练习 1 已知直线l经过点 A 5 6 和点 B 4 8 求直线的一般式方程和截距式方 程 并画图 高二数学 2017 秋季 第 12页
