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1、天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试数学（理）试题第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,所以,选C.2. 已知复数，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以虚部是 ,选C.3. “”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A. 充分不必耍条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数在区间上为增函数得 所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必耍条
2、件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4. 已知为偶函数，则可以取的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 设的内角所对边的长分别为，若，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.6. 已知点，则向量在向量上的投影为（ ）A
3、. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以向量在方向上的投影为 ，故选A考点：平面向量的数量积的运算及向量的投影的概念7. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选C.点睛：本题采用分组转化法求和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）8. 已知为偶函数，当时，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作图,可知恰有4个零点，所以 ,选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定
4、其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知复数是纯虚数，（为虚数单位)，则_.【答案】【解析】 所以 10. 等比数列的前项和为，且成等差败列.若，则_.【答案】15【解析】由题意得 11. 设的内角，所对边的长分别是，且.则的值为_.【答案】【解析】 12. 若直线与曲线相切，则_.【答案】【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，将原点坐标代入化简得，故.13. 在平行四边形中，,为的中点，为平面
5、内一点，若，则_.【答案】6【解析】14. 对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】为单调递增函数, ,所以零点在0,2当时 舍去;当时 舍去;当时 综上实数的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接讨论法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤.） 15. 是直线与函数图像的两个相邻的交点，且.（1）求的值和函数的单调增区间（2）在锐角中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)首先化简三角函数式的值，然后结合周期即可求得；(2)利用题意首先求得，然后结合面积公式可得，最后由余弦定理可得.试题解析：.由函数的图像及，得到函数的周期，解得.（）解：因为所以.又因为是锐角三角形，所以，即，解得.由，解得.由余弦定理得，即.16. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束.（1）求第一次实验恰好摸到
7、1个红球和1个白球的概率；（2）记实验次数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意知，袋子中共有8个球，记“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A，则根据古典概型计算公式，得.（2）由题意知，每次试验中不放回地摸出两个球，直到摸出的球中有红球，因为袋中只有两个红球，所以最多需要进行四次试验，第一次试验的结果可能有“一个红球一个白球”或“两个红球”，第二次试验要在第一次试验没有出红球情况下进行，则袋中剩下4个白球和2个红球，结果可能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，同理第三次试验要在前两次没有出现红球下进行，则袋中剩下2个白球和2个红球
8、，结果能为“一个红球一个白球”或“两个红球”，第四次试验要在前三次试验没有出现红球下进行，则袋中只剩下2个红球，结果为“两个红球”，所以的值为1、2、3、4，根据古典概型的计算公式，得，从而可列出的分布列，并求出其数学期望.试题解析：（1）（2）由题意可知的值分别为1、2、3、4，则，所以的分布列为的数学期望.考点：1.古典概率；2.随机变量的分布列、数学期望.17. 正数数列的前项和为，且，求（1）的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析:（1）先平方得，再根据和项与通项关系得，最后根据等差数列定义以及通项公式求解（2）因为，所以利用裂项相
9、消法求和得，再根据数列单调性确定的取值范围.试题解析：（1）由，当带入得，两边平方得（1），时，（2），（1）-（2），得，由正数数列，得，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，有；（2） 当，.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18. 等差数列的前项和为，且，数列满足：，数列的前项和为（1）求等筹数列的通项公式及前项和为；（2求数列的通项公式及前项和为（3）设集合，若的子集个
10、数为16，求实数的取值范围.【答案】(1).(2) ，.(3).【解析】试题分析：利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围解析：（1）设数列的公差为d，由题意知：解得， （2）由题意得：当时又也满足上式，故故 得： （3）由（1）（2）知：，令则，当时，集合M的子集个数为16 中的元素个数为4的解的个数为4 点睛：形如在求通项时要用累乘法，遇到通项为的数列在求和时用错位相减法，形如，其中、一个是等差数列一个是等比数列求和就用错位相减法。19. 已知椭圆的一个焦点与抛物线
11、的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）设不过原点的直线：与椭圆交于两点若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2).证明见解析，定点坐标为. 试题解析：（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，所以，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1，所以椭圆的方程为（2）联立得，得（*）设，则，（i），由，得，所以，即，得，所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为（ii）因为直线的斜率是
12、直线，斜率的等比中项，所以，即，得，得，所以，又，所以，代入（*），得设点到直线的距离为，则，所以 ，当且仅当，即时，面积取最大值故面积的取值范围为考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】1求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关20. 设函数（1）若在点处的切线斜率为，求的值；（2）当时，求的单调区间；（3）若，
13、求证：在时，.【答案】(1)；(2)单调减区间为.单调增区间为；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求出，通过在点处的切线斜率，可得，解得；（2）由（1）知：，结合导数分、两种情况讨论分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（3）通过变形，只需证明即可，利用，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.试题解析：（1）若在点处的切线斜率为，得.（2）由当时，令解得：当变化时，随变化情况如表：由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数当时，的单调减区间为 所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为当时，的单调减区间为（3）当时，要证，即证令，只需证 由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，为减函数当时，为增函数，所以当时.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.
