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1、天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试数学（文）试题第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为实数，若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，则，解得，故选A.2. 已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）A. 充分不必耍条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b没有公共点”时，两直线有可能在两个相交平面上。充分性不成立；故选B.3. 下列命题中的假命题是（ ）A. B
2、. C. D. 【答案】B【解析】对于，正确；对于，当时，此时错误；对于，当时，则，正确；对于的值域为，正确，故选B.4. 已知数列中，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件第一次循环得到，第二次循环得到，当执行第项时，的值为执行之后加的值，所以判断条件应为进入之前的值.故选D考点：程序框图5. 双曲线的离心率是，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则 ，当即时取最小值，故选C.【易错点晴】本题主要考查双曲线的离心率及利
3、用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选C.点睛：本题采用分组转化法求和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）7. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相较于
4、点，则与的面积之（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图,过作准线的垂线、垂足分别为，又，由抛物线定义，由，知，把代入上式，求得，故，故选B.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.8. 已知函数若存在实数 ，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出函数的图象， ， ， ， ，
5、 ，由于，则 ，为上单调增函数，因为 ，则 ，有 ，所以由此可得：的取值范围是，选A.【点睛】利用数学结合思想解函数题是高考必考解题的解题思想，先画出函数图象，结合题意根据找出的关系，再根据函数找出的范围和关系，最后求出的取值范围，特别说明由，及代入减元转化为二次函数求的范围.第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 设全集，若，则集合_【答案】【解析】， ，如图,由于阴影部分表示的集合是集合即为的补集，则集合，故答案为.10. 已知直线 .若以点为圆心的圆与直线相切于点，且点在轴上，则该圆的方程为_【答案】【解析】由题意可得，点，且的斜率为，即，求得，可得
6、点，故圆的半径，故圆的方程为，故答案为.11. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是_【答案】【解析】根据题意，还原出如图的三棱锥底面中，且，侧面中，高于，且， 三棱锥的体积是 ，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范闱为_【答案】【解析】根据对数函数的定义可得
7、，解得，因为二次函数图象的对称轴为，由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为，要使函数在区间内单调递增，只需，解关于的不等式组得，即的取值范围是，故答案为.13. 在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数使得，则的取值范围是_【答案】【解析】互异，由，得，则 ，无最大值，的取值范围是，故答案为.14. 已知函数，若方程的实根个数为，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：令 原命题等价于方程的实数根的个数有个，做函数的图象如下图,考点：1、函数的解析式；2、函数与方程.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数与方程，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻
8、辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先令 原命题等价于方程的实数根的个数有个，做函数的图象如上图,三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，角所对的边分别为，已知.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，解方程组即可求出；（2）根据两角和的余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数的关系可得，再由二倍角的正弦公式可得结果.试题解析：（1），由正弦定理可得，由，解得.（2）由得 ，.16. 是直线与函数图像的两个相邻的交点，且.（1）求的
9、值和函数的单调增区间； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的对称轴方程.【答案】（1） ， 增区间；（2）.【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的二倍角公式以及两角和余弦函数得 ，由及周期公式可得，从而可得函数的解析式，根据余弦函数的单调性解不等式可得结果；（2）根据三角函数的放缩变换与平移变换可得 ，利用余弦函数的对称性可得结果.试题解析：（1） ，因为是直线与函数图像的两个相邻的交点，且，所以 ，所以；由 可得，所以可知函数的单调增区间是；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数
10、的图象，再将 的图象向左平移个单位，得到函数 图象，由 可得函数的对称轴方程为，.17. 某餐厅装修，需要大块胶合板张，小块胶合板张，已知市场出售两种不同规格的胶合板。经过测算，种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张，种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张.已知种规格胶合板每张元，种规格胶合板每张元.分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数.（1）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求，两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.【答案】（1）；（2）种胶合板5张，种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元. 试题
11、解析：（1）买胶合板张，胶合板张，由题意得到，平面区域如图：（2）由设花费资金，由（1）得，由图可知当时，（元），答：型木板张，型木板张，付出资金最少为元.18. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由左焦点为，右顶点为得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方
12、程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.试题解析：（1）椭圆的标准方程为.（2）设线段的中点为，点的坐标是，由，得 点在椭圆上，得线段中点的轨迹方程是. （3）当直线垂直于轴时，因此的面积.当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，解得，则，又点到直线的距离，的面积于是由，得，其中，当时，等号成立.的最大值是.19. 已知数列的前项和满足：（为常数，且).（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
13、【解析】试题分析：（1）由题意知，由此可知；（2）由题意，由此可解得；（3）证明：由题意知，由此利用裂项相消法求和，利用放缩法可得结论.试题解析：（1） ，当时， 两式相减得： 即是等比数列，；（2）由（1）知，若为等比数列，则有，而，故，解得，再将代入得成立，符合为等比数列.所以.（2）证明：由（2）知，所以，所以 .20. 设函数（1）若在点处的切线斜率为，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若，求证：在时，.【答案】（1）；（2）当时，的单调减区间为.单调增区间为；当时，的单调减区间为；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求出，通过在点处的切线斜率，可得，解得；（2）由（1）知
14、：，结合导数分、两种情况讨论分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（3）通过变形，只需证明即可，利用，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.试题解析：（1）若在点处的切线斜率为，得.（2）由当时，令解得：当变化时，随变化情况如表：由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数当时，的单调减区间为 所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为当时，的单调减区间为（3）当时，要证，即证令，只需证 由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，为减函数当时，为增函数，所以当时.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再利用等差数列求通项的.
