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1、和平区2017-2018学年度第一学期高二年级数学（文）学科期末质量调查试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若命题“ ， ”的否定是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】特称命题的否定为全称，所以“”的否定形式是：.故选D.2. 已知抛物线 ，则它的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为抛物线方程为， ,所以它的准线方程为，故选D.3. 已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B4. 已知双曲线的一个焦点坐标为，且经点
2、 ，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 5. 已知， 是椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，若 的周长为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 的周长为，所以是椭圆的两焦点，椭圆方程为，故选A.6. 若双曲线 （ ）的离心力为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 （ ）的，则离心率，解得，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.7. 如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设这条弦的两端点为斜率为，则，两式相减再变形得，又
3、弦中点为，可得，所以这条弦所在的直线方程为，整理得，故选C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标）；代入（即代入圆锥曲线方程）；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8. 已知椭圆 ： （ ），点 ， 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 ，使 ，则离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，设，则 ，可得，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 .
4、求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用构造出关于的不等式，最后解出的范围.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. 直线 与椭圆 相切的充要条件是_【答案】【解析】联立方程，可得，由直线 与椭圆 相切得，直线 与椭圆 相切的充要条件是，故答案为.10. 若双曲线 （ ）的左焦点在抛物线 的准线上，则 _【答案】4【解析】
5、双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，可得，解得，故答案为.11. 已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于_【答案】或【解析】当焦点在轴上时，当焦点在轴上， 解得或,故答案为或.12. 已知斜率为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆相交于 、 两点，则 的长为_【答案】【解析】椭圆的右焦点为，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有交点为，则弦长为，故答案为.13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为直线，过抛物线上一点， 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 _【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点，准线的方程为直线的倾斜角为直线的方程为，联立，解得，于代入抛物线的方程可得，解得，故答
6、案为.14. 已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为、 ，过 的直线交双曲线右支于 ， 两点，且 ，若 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】可设为双曲线右支上一点，由，在直角三角形中，由双曲线的定义可得：，由，即有，即为，解得，由勾股定理可得： ，可得，故答案为.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系，求出离心率三、解答题 （本
7、大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知命题 ：表示双曲线，命题 ： 表示椭圆。（1）若命题与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围.【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或。【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题为真命题则 ,若 都为真命题则 或，由，可得 是 的必要不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分
8、别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）命题 ： 表示双曲线是真命题， ，解得 ,又命题 ： 表示椭圆是真命题， 解得 或 是 的必要不充分条件,（2） 为假命题，且 为真命题 、 为“一真一假”，当 真 假时，由（1）可知，为真，有 ，为假， 或 或 由解得 或 当 假真时，由（1）可知，为假，有 或 ，为真，有 或 由解得，无解综上，可得实数 的取值范围为 或.【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助
9、集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.16. 已知平面上的三点 、 、 .（1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程；（2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.【答案】（1） （2）.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出，从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为 （ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得，得，从而
10、可得，进而可得 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 （ ）其半焦距 由椭圆定义得 故椭圆的标准方程为 .（2）点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 .设所求双曲线的标准方程为 （ ， ）其半焦距 ，由双曲线定义得 ， ，故所求的双曲线的标准方程为 .17. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.（1）求抛物线 的方程；（2）求 的面积.【答案】（1） （2） .【解析】试题分析：(1)因为点 在抛物线 上，且 ，由抛物线的定义，可得，解可得，代入标准方程，即
11、可得抛物线 的方程；（2）联立直线与抛物线的方程，消去得，设，由一元二次方程根与系数的关系可得，结合拋物线的几何性质，可得的长，由点到直线距离公式可得到直线，进而由三角形面积公式计算可得答案.试题解析：（1） 在抛物线 上，且 ，由抛物线定义得， 所求抛物线 的方程为 .（2）由 消去 ，并整理得， ，设 ， ，则 ，由（1）知 直线 过抛物线 的焦点 ， 又点 到直线 的距离 ， 的面积 .18. 已知椭圆的方程为 （ ）的离心率为 ，圆的方程为 ，若椭圆与圆 相交于 ， 两点，且线段 恰好为圆 的直径.（1）求直线 的方程；（2）求椭圆 的标准方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析
12、：(1) 由椭圆的离心率为 ，可设椭圆 的方程为 ，设 ， ，由线段 恰好为圆 的直径可得 ， ，由于 ， ，两式相减，并整理得 ，根据点斜式可求得直线 的方程；（2）由（1）知 ，代入并整理得， ，根据弦长公式列方程可得，从而得，进而可得椭圆 的标准方程.试题解析：（1）由 得， ，即 ，椭圆 的方程为 ，设 ， ，线段 恰好为圆 的直径，线段 的中点恰好为圆心 ，于是有 ， ，由于 ， ，两式相减，并整理得， 有 ， 直线 的方程为 ，即 。（2）解：由（1）知 ，代入并整理得， ，椭圆 与圆 相交于 ， 两点， ,解得 ，于是 ， 依题意， ，而 解得 ，满足 所求椭圆 的标准方程 .【
13、方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和“点差法”的应用，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.19. 已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 。（1）求椭圆 的标准方程；（2）椭圆 的下顶点为 ,直线 （）与椭圆 相交于不同的两点 ， ，当 时，求 的取值范围。【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由题已知椭圆方程；，利用条件离心率为，及右焦点到直线的距离为，易求出的值，得出方程（2）由题可先让直线方程与（1）中的椭圆方程联立，（有交点）再设出两点坐标并用根与系数的关系表示出，再结合条件，可表示出的关系式，再代入，可求出的取值范围试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，依题意有又，得, 又， 椭圆的方程为（2）椭圆下顶点为，由消去，得直线与椭圆有两个不同的交点 ，即设，则 中点坐标为 ， ， ，即得把代入，得，解得 的取值范围是考点：（1）椭圆的性质及方程思想；（2）直线与椭圆的位置关系及代数运算能力；
