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1、第70课 棱 锥考试目标 主词填空1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体.2.分类：按底面边数分：三棱锥、四棱锥特例：正棱锥底面是正多边形并且顶点在底面上射影是底面中心的棱锥.3. 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积之比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即(类推：).对于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成一个直角三角形.4.侧面积和体积：.题型示例 点津归纳【例1】 棱锥PABCD的底面是正方形，侧面PAB
2、，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成45角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15 cm.求:(1)棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.【解前点津】 棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.【规范解答】 如图所示.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA底面AC.例1题图又PBA=45，PA=AB=h,AC=h .由PA2AC2PC2及PC15，得h=5(cm );(2)BDAC,BDPA,BD平面PAC.又MNBD,MN平面PAQ，平面PAQ平面PMN.作OHPQ于H，则OH之长即为所求.作AGPQ于G.在RtPAQ中，AQ,
3、PQ=AG=再由得OH= (cm).【解后归纳】 由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.例2题图【例2】 如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，棱长为4a,且ABC=60,PC平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.（1）求证：平面BDE平面ABCD；（2）求：E点到平面PBC的距离；（3）求：二面角AEBD的平面角的大小.【解前点津】 （1）证平面BDE平面ABCD，需证平面BDE过平面ABCD的一条垂线OE；（2）欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到平面的距离，进一步转化为求点O到平面PBC的距离.（3）利用三垂线定
4、理作出二面角的平面角AGO,从而解出AGO可求得AGO的大小.【规范解答】 证明:（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.ABCD为菱形，OA=OC.又E为PA中点，OEPC.PC平面ABCD，OE平面ABCD.又OE平面BDE,平面BDE平面ABCD.(2)解:OEPC,PC平面PBC,OE平面PBC.E到平面PBC的距离与O到平面PBC的距离相等.PC平面ABCD，平面PBC平面ABCD，过O作OFBC于F，则OF平面PBC，即OF是O到平面PBC的距离.ABC=60,AC=AB=BC=4a,OC=2a,OF=OCsin60=2a=.点E到平面PBC的距离为.（3）解:过O作OGB
5、E于G，连AG，OEAC,BDAC,AC平面BDE，AGBE.AGO是二面角ABED的平面角.OE=PC=2a,OB=2,BE=4a.由三角形面积相等得：OG=,又AO=AC=2a.RtAOG中，tanAGOAGO=arctan.二面角AEBD的平面角的大小为arctan.【解后归纳】 本题考查线线平行、垂直、线面平行与垂直、面面垂直的判定及性质，点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.【例3】 如图，设三棱锥SABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60,又BAC=60,且SABC.例3题图（1）求证SABC为正三棱锥；（2）已知SAa,求SABC的全面积.【解前点津】
6、(1)正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可.（2）只要求出正三棱锥SABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.【规范解答】 (1)证明：作三棱锥SABC的高SO，O为垂足.连结AO并延长交BC于D.因为SABC,所以ADBC,又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，所以ABAC.又BAC60,故ABC为正三角形，且O为其中心，所以SABC为正三棱锥.（2）在RtSAO中，由于SAa,SAO=60,所以SO=,AO=a, 因O为重心，所以AD.BC=2BD=2ADcot 60=,OD=AD=.在RtSOD 中，SD2S
7、O2OD2，则.SSABC全=【解后归纳】 求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底cosS正棱锥侧（为侧面与底面所成的二面角），就本题cos=,SABC=,所以SSABC侧=,也可求出全面积.【例4】 已知正三棱锥PABC底面边长为2,高也是2.(1)求此三棱锥的全面积;(2)过这棱锥底面的一边作垂直于它所对棱的截面,求这个截面的面积.【规范解答】 (1)斜高h=,S全=S侧+S底=(2)设顶点P在底面上的射影为O,连AO并延长交BC于E,连结PE,PEBC,AEBC,BC平面PAE,PABC.在平面PAE中,作EDPA于D,则PA截面BCD.在PAE中,AE=,AB=2,AE=,在
8、RtPAO中,PO=2,AO=,PA=,PADE=AEPO,DE=,截面DBC的面积是.【解后归纳】 关于多面体表面积的计算,常用方法是将其表面展开成平面图形,转化为平面几何问题来解决;关于截面积的计算问题,则须根据截面的图形特征选择适当方法求之.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥 ( )A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有 ( )A.4个 B.2个 C.3个 D.1个3.设棱锥的底面面积为8cm
9、2,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是 ( )A.4cm2 B.2cm2 C.2cm2 D.cm24.已知三棱锥PABC的六条棱长均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且，连结AE、AF、EF，则三棱锥AEFP的体积与四棱锥ABCFE的体积之比为 ( )A.110 B.111 C.112 D.1135.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为 ( )第5题图A.B. C. D. 6.一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角为30，且此棱锥的底面面积为S，则它的侧面积等于
10、( )A. B. C. D.2S7.以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的 ( )A. B. C. D.8.两个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分.则此两截面将棱锥的高分成的三段(自上而下)之比是 ( )A.1 B.1(-1)(-1)C.1(-1)(-) D. 1(+1)(+)9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为 ( )A. B. C. D.二、思维激活10.正四棱锥SABCD，已知侧棱长等于底面边长，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的余弦值等于 .11.如果三棱锥S-ABC的底面是不等边
11、三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的 心12.三棱锥一条侧棱长16cm ,和这条棱相对的棱长是18cm ,其余四条棱长都是17cm ,则棱锥的体积是 cm3.13.三棱锥PABC的底面是直角三角形，C90，PA底面ABC，若A到PC、PB的距离比是12，则侧面PAB与侧面PBC所成的角是 . 14.在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为 . 三、能力提高15.正三棱锥VABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于，过底面一边作此棱锥的截面，当截面与
12、底面所成二面角为何值时，截面面积最小?并求出最小值.16.如图所示，在正三棱锥SABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD2AD，CE2BE，CF2SF，G是AB的中点.(1)求证:平面SAB平面DEF.第16题图(2)求证:SG平面DEF. (3)当AB2，SA时，求二面角FDEC的大小.17.三棱锥PABC中，PB底面ABC于B，BCA90，PBBCCA4，E为PC的中点，点F在PA上，且3PFFA.(1)求证：侧面PAC侧面PBC.(2)求异面直线PA与BE所成角的大小.(3)求三棱锥FABE的体积V.18.棱长为1的正方体ABCDABCD的上底面对角线AC上取一点P,过
13、P、A、B三点所作的截面与底面ABCD的夹角为,过P、B、C三点所作截面与底面ABCD的夹角为，求当(+)最小时点P的位置.19.正三棱锥PABC中,AB=a,相邻两个侧面所成的二面角为.(1)若BDPC,求BD的长;(2)求这棱锥的侧面积. 第9课 棱锥习题解答1.D 根据正棱锥的性质选D.2.A 四个侧面三角形都可能是直角三角形如底面ABCD为矩形，VA平面ABCD.3.C 中截面的面积应是底面面积的,即2cm2所以选C.4.B VAEFP=VPABC= VAEFPVABCFE=111.5.C 由一点出发三条垂直的棱设为a、b、c，ab=S1，bc=S2，ac=S3，V=.6.C 侧面积为.7.C 表面积比为.8.C 自上而下设高为h1、h2、h3，h12(h1+h2)2(h1+h1+h3)2=123.h1h2h3=1(-1)(-).9.D OD=OB=，SBOD=,VDABC=.10. 设AC的中点为O，连OE则OESC，cosOEB=.第12题图解11.内心 设S在ABC上的射影为O，由所成二面角相等可得O到ABC三边距离相等,故O为内心
