《人教A版高中数学必修五 1.2应用举例 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修五 1.2应用举例 学案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.解三角形应用举例-学案一、学习目标1熟练掌握正、余弦定理2能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题二、自主学习 1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos
2、C2.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)三、合作探究 题型一、测量距离问题【例1】 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝
3、方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离思路探索 可将AB放在ABC中来求，为此应先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.解ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60.ADCDACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2.ABa.蓝方这两支精锐部队的距离为a.【方法技巧】求距离问题的注意事项：(1) 选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2) 确定用正弦定理
4、还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理题型二、测量高度问题【例2】 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.思路探索 由仰角为45可知CDAD，再在ABD中应用正弦定理求解AD即可解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1) (m)即山的高度为800(1) m.【方法技巧】求解高度问题应注意：(1) 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，
5、视线与水平线的夹角；(2) 准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3) 运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用题型三、测量角度问题【例3】 如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间审题指导：(1)分清已知条件和未知条件(待求)(2)将问题集中到一个三角形中，如ABC和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解规
6、范解答 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC海里又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题
7、意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用四、学以致用 1. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24 (n mile)所以A处与D处的距离为24 n mile.(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 3
8、0，解得CD8 n mile.即灯塔C与D处的距离为8 n mile.2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，BCD，BDC，CBD180()，即.BCs. 在ABC中，由于ABC90，tan ，ABBCtan s.3.甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat海里，ACat海里，B9030120，由得：sinCAB.0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇
