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1、1 任务2 圆轴扭转横截面上的应力与应变 模块四 截面应力计算 任务3 平面弯曲正应力计算 任务1 轴心拉压的应力与应变 任务4 平面弯曲剪应力计算 任务5 组合变形应力计算 任务6 平面应力状态应力计算 模块四 截面应力的计算 1 了解全应力 正应力 切应力的概念及单位 2 掌握轴心拉压的应力 应变 变形及胡克定律 3 掌握轴向拉伸压缩时材料的力学性能 工作许用应力 4 理解扭转圆轴横截面上应力分布规律 掌握切应力的计算 5 平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算 6 掌握弯曲正应力分布规律及计算公式 7 掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式 8 掌握斜弯曲 拉 压 弯杆 偏心压缩杆的正应力
2、截面核心 9 理解平面应力状态分析的解析法 图解法 学习目标 1 具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力 2 会计算简单图形的惯性矩 极惯性矩 惯性积 惯性半径 能用平行移轴公式计算组合图形的形心主惯性矩 3 熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式 4 能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布 重点 轴心拉压应力 应变计算 平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算 弯曲正应力分布规律及计算公式 偏心压缩杆的正应力 难点 剪切胡克定律 惯性半径 弯曲剪应力的分布规律及计算公式 平面应力状态分析的解析法 图解法 学习内容 任务1 轴心拉压 知识目标 掌握轴心拉压的应力 应变 变形及胡克
3、定律及低碳钢拉伸性能 能力目标 能求解轴心拉压杆的应力和应变 任务引领 图示支架 AB杆为圆截面杆 L1 4m d 30mm BC杆为正方形截面杆 其边长a 60mm F 10KN 弹性模量E 200Mpa 试求AB杆和BC杆横截面上的正应力和伸缩量 A 10mm2 A 100mm2 10KN 10KN 10KN 10KN 哪个杆先破坏 一 应力的概念 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度 内力集度 工程构件 大多数情形下 内力并非均匀分布 集度的定义不仅准确而且重要 因为 破坏 或 失效 往往从内力集度最大处开始 应力就是单位面积上的力 A 垂直于截面的应力称为 正应力 位于截面内的应力称
4、为 切应力 应力的国际单位为N m2 帕斯卡 1N m2 1Pa 1MPa 106Pa 1N mm2 1GPa 109Pa P 总应力 FP FP 变形规律试验 观察发现 当杆受到轴向拉力作用后 所有的纵向线都伸长了 而且伸长量都相等 并且仍然都与轴线平行 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直 而且仍为直线 只是它们之间的相对距离增大了 二 拉 压 杆横截面上的应力与应变 当轴力为拉力时 正应力为拉应力 取正号 当轴力为压力时 正应力为压应力 取负号 两个假设 平面假设 横截面只沿杆轴线平行移动 纤维假设 横截面之间所有纵向纤维的伸长量相等 可知 横截面上只有正应力 且大小相等 轴心拉压应力公式
5、轴心拉压应变公式 完成任务 图示支架 AB杆为圆截面杆 L1 4m d 30mm BC杆为正方形截面杆 其边长a 60mm F 10KN 弹性模量E 200Mpa 试求AB杆和BC杆横截面上的正应力和伸缩量 解 1 以B点为研究对象 2 求应力 3 求变形量 材料的力学性能 与材料自身性质 加载方式 温度条件有关 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质 在常温 静载条件下 塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能 拉伸标准试件 圆截面l 10dl 5d 矩形截面 k 11 3k 5 6 三 低碳钢拉伸性能 1 拉伸图和应力 应变图 试验机的自动绘图设备 可在试件拉伸过程中 自动绘出试件所受应
6、力 P A与标距段相应的伸长量 l L的关系曲线 通常称它为拉伸图 下图为低碳钢的拉伸图 2 低碳钢拉伸时的力学性能 变形发展的四个阶段 ob bc cd de 明显的四个阶段 1 弹性阶段ob 比例极限 弹性极限 2 屈服阶段bc 失去抵抗变形的能力 屈服极限 3 强化阶段ce 恢复抵抗变形的能力 强度极限 4 局部径缩阶段ef 两个塑性指标 断后伸长率 断面收缩率 为塑性材料 为脆性材料 低碳钢的 为塑性材料 3 卸载定律及冷作硬化 1 弹性范围内卸载 再加载 2 过弹性范围卸载 再加载 即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系 这就是卸载定律 材料的比例极限增高 延伸率降低 称之为冷作硬化
7、或加工硬化 2 其它材料拉伸时的力学性质 对于没有明显屈服阶段的塑性材料 用名义屈服极限 0 2来表示 四 材料压缩时的力学性质 试件和实验条件 常温 静载 2 5 1 塑性材料 低碳钢 的压缩 屈服极限 比例极限 弹性极限 拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同 E 弹性摸量 2 脆性材料 铸铁 的压缩 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限 建筑专业用的混凝土 压缩时的应力 应变图 如图示 混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右 任务引领 图示的阶梯圆轴 AB段直径d1 120mm BC段直径d2 100mm 外力偶矩MeA 22kN m MeB 36kN
8、m MeC 14kN m 试求该轴的最大切应力 任务2 圆轴扭转横截面上的应力应变 观察变形 一 圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为 应力分布规律 物理关系 静力学关系 1 各圆周线均绕轴线作相对转动 且各圆周线的形状 大小及它们相互之间的距离都没有变化 2 各纵向线都倾斜了相同的角度 原来的矩形格变成了平行四边形 但各边的长度没有改变 在小变形情况下 只是夹角发生了改变 对圆轴内部的变形可作如下假设 扭转变形前原为平面的横截面 变形后仍保持平面 且其形状 大小都不改变 只是绕轴线相对转过一个角度 两相邻横截面之间的距离也保持不变 这一假设称为圆轴扭转的平面假设 根据圆轴扭转的平面假设和
9、切应力互等定理 剪切胡克定律可知 实心圆轴横截面上各点处 只产生垂直于半径的切应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 此式表明距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 等直圆杆扭转实验观察 1 几何变形方面 T 2 物理关系 胡克定律 代入上式得 3 静力学关系 代入物理关系式 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式 讨论 1 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 2 式中 T 横截面上的扭矩 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 3 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是Ip值不同 剪应力的计算公式 1 横截面上任意一点剪应
10、力计算 2 最大剪应力计算 当时 表示圆截面边缘处的剪应力最大 IP 截面对形心的极惯性矩是一个几何量 与截面形状及尺寸有关 单位m4mm4 WP 抗扭截面系数 几何量单位m3mm3 圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数 空心圆轴 抗扭截面系数 判断下图扭转切应力的分布 对的是哪些 错的是哪些 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 二 极惯性矩和抗扭截面系数 1 极惯性矩 对于空心圆轴 式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关 称为抗扭截面系数 单位为mm3或m3 横截面上边缘点的切应力最大 其值为 令 三 最大切应力 完成任务 图示的阶梯圆轴 AB
11、段直径d1 120mm BC段直径d2 100mm 外力偶矩MeA 22kN m MeB 36kN m MeC 14kN m 试求该轴的最大切应力 解 1 作扭矩图用截面法求得AB段 BC段的扭矩分别为T1 MeA 22kN mT2 MeC 14kN m作出该轴的扭矩图如图示 2 计算最大切应力由扭矩图可知 AB段的扭矩较BC段的扭矩大 但因BC段轴径较小 所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力 AB段 BC段 比较上述结果 该轴最大切应力位于BC段内任一截面的边缘各点处 即该轴最大切应力为 max 71 3MPa 任务3 平面弯曲的正应力 任务引领 一外伸T型钢梁 梁上荷载如图所示 已知L
12、1 6m L2 2mF 20kN q 10kN m 截面尺寸如图所示 试求梁最大正应力 学习目标 1 平面弯曲 2 3 4 一 弯曲和平面弯曲 1 弯曲 以弯曲变形为主的构件通常称为梁 受力特点 杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用 变形特点 杆轴线由直变弯 2 单跨静定梁的几种形式 悬臂梁 简支梁 外伸梁 3 平面弯曲 工程中常见的梁 其横截面大多为矩形 工字形 T形 十字形 槽形等 它们都有对称轴 梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面 具有纵向对称面 外力都作用在此面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 1 变形前互相平行的纵向直
13、线 变形后变成弧线 且凹边纤维缩短 凸边纤维伸长 2 变形前垂直于纵向线的横向线 变形后仍为直线 且仍与弯曲了的纵向线正交 但两条横向线间相对转动了一个角度 1 平面假设 变形前杆件的横截面变形后仍为平面 2 单向受力假设 各纵向纤维之间互不挤压 纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 因此梁横截面上只有正应力 而无剪应力 二 梁横截面上的应力分布规律 2 物理条件 1 几何条件 3 静力条件 横截面上正应力分布规律 1 受拉区 拉应力 受压区 压应力2 中性轴上应力为零3 沿y轴线性分布 同一坐标y处 正应力相等 既沿截面宽度均匀分布4 最大正应力发生在距中性轴最远处 即截面边缘处 若截面对称于
14、中性轴 则最大拉应力等于最大压应力 简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式 型钢查型钢表 任务完成 任务引领 一外伸T型钢梁 梁上荷载如图所示 已知L1 6m L2 2mF 20kN q 10kN m 截面尺寸如图所示 试求梁最大正应力 解 1 求危险截面内力 MB 20 2 40KN m Mc 10 62 8 40 2 25KN mMmax MB 40KN m 2 计算截面性质 3 最大应力 思考题 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力 并加以比较 竖放 横放 知识拓展 梁的合理截面 1 根据抗弯截面系数选择合理截面 从抗弯截面系数的计算可以推知 一般情况下 抗弯截面系数与截面
15、高度的平方成正比 所以 合理的截面形状应该是在横截面面积A相等的条件下 比值Wz A尽量大些 1 通过对矩形 圆形 工字形 正方形截面进行理论计算发现 在横截面的面积A相等的情况下 比值Wz A从大到小的截面依次是 工字形 矩形 正方形 圆形 2 通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现 不论截面的几何形状是哪种类型 空心截面的Wz A总是大于实心截面的Wz A 3 对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现 尽管截面形状和尺寸都没变 只是放置方式不同 中性轴不同 从而使抗弯截面系数不相同 立放的矩形截面Wz A值比平放的矩形截面Wz A值大 若h 2b 梁平放时Wz A b 6
16、 梁竖放时Wz A b 3 2 根据材料特性选择截面 对于抗拉和抗压相同的塑性材料 一般采用对称于中性轴的截面 如圆形 工字形等 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料 最好选用关于中性轴不对称的截面 如T形 槽形等 3 采用变截面梁 为了充分利用材料 理想的梁应该是在弯矩大的部位采用大截面 而在弯矩小的部分就采用小截面 使弯矩与截面相对应 这种梁的横截面尺寸在全梁范围内不是一个常数 而是沿着轴线有一定变化的梁称为变截面梁 最理想的变截面梁应该是 梁的每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力 这种变截面梁称为等强度梁 注意 在建筑工程中 通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁 而不采用等强度梁 任务4 平面弯曲的剪应力 任务引领 一外伸T型钢梁 梁上荷载如图所示 已知L1 6m L2 2mF 20kN q 10kN m 截面尺寸如图所示 试求梁最大剪应力 学习目标 1 纯剪切 弯曲剪切 2 纯剪切应力3 弯曲剪切应力4 剪切分为纯剪切和弯曲剪切 它们的应力分布规律不同 一 纯剪切 1 切应力的分布规律 1 切应力的方向与剪力同向平行 2 切应力沿截面宽度均匀分布
