《（浙江专用）高考数学大一轮复习课时133.2导数与函数单调性教师备用题库》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）高考数学大一轮复习课时133.2导数与函数单调性教师备用题库（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 导数与函数单调性教师专用真题精编(2018天津,20,14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a1.(1)求函数h(x)=f(x)-xln a的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2lnlnalna;(3)证明当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.解析本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能
2、力.(1)由已知,h(x)=ax-xln a,有h(x)=axln a-ln a.令h(x)=0,解得x=0.由a1,可知当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如表:x(-,0)0(0,+)h(x)-0+h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+).(2)证明:由f (x)=axln a,可得曲线y=f(x)在点(x1, f(x1) 处的切线斜率为ax1ln a.由g(x)=1xlna,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为1x2lna.因为这两条切线平行,故有ax1ln a=1x2lna,即x2ax1(ln a)2=1.两边取以a为底
3、的对数,得logax2+x1+2logaln a=0,所以x1+g(x2)=-2lnlnalna.(3)证明:曲线y=f(x)在点(x1,ax1)处的切线l1:y-ax1=ax1ln a(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:y-logax2=1x2lna(x-x2).要证明当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当ae1e时,存在x1(-,+),x2(0,+),使得l1与l2重合.即只需证明当ae1e时,方程组ax1lna=1x2lna,ax1-x1ax1lna=logax2-1lna,有解.由得x2=1ax1
4、(lna)2,代入,得ax1-x1ax1ln a+x1+1lna+2lnlnalna=0.因此,只需证明当ae1e时,关于x1的方程存在实数解.设函数u(x)=ax-xaxln a+x+1lna+2lnlnalna,即要证明当ae1e时,函数y=u(x)存在零点.u(x)=1-(ln a)2xax,可知x(-,0)时,u(x)0;x(0,+)时,u(x)单调递减,又u(0)=10,u1(lna)2=1-a1(lna)20,使得u(x0)=0,即1-(ln a)2x0ax0=0.由此可得u(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为ae1e,故ln ln a-1,所以u(x0)=ax0-x0ax0ln a+x0+1lna+2lnlnalna=1x0(lna)2+x0+2lnlnalna2+2lnlnalna0.下面证明存在实数t,使得u(t)1lna时,有u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+1lna+2lnlnalna=-(ln a)2x2+x+1+1lna+2lnlnalna,所以存在实数t,使得u(t)0.因此,当ae1e时,存在x1(-,+),使得u(x1)=0.所以,当ae1e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.2
