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1、时间序列分析 华中农业大学数学建模基地系列课件 7000年前的古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来 就构成所谓的时间序列 对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律 由于掌握了尼罗河泛滥的规律 使得古埃及的农业迅速发展 从而创建了埃及灿烂的史前文明 引例 引例 时间序列 某一系统在不同的时间 地点或其他条件等 的响应 数据 时间序列是按一定的顺序排列而成 一定顺序 既可以是时间顺序 也可以是具有不同意义的物理量 如 研究高度与气压的关系 这里的高度就可以看作 时间 总而言之 时间序列只是强调顺序的重要性 因此又被称为 纵向数据 相对于 横向数据 而言的 什么是时间序列 时间序列
2、数据的预处理平稳性检验纯随机性检验平稳时间序列数据分析非平稳时间序列数据分析 内容提要 时间序列数据的预处理 时间序列数据的预处理基本概念平稳性检验纯随机性检验 概率分布的意义随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定时间序列概率分布族的定义几个重要数字特征 均值 方差 自协方差 自相关系数 时间序列数据的预处理 1基本概念 1 1基本的数字特征 特征统计量 均值方差自协方差自相关系数 时间序列数据的预处理 1 2平稳时间序列的定义 严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义 它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时 该序列才能被认为平稳 宽平稳宽平稳
3、是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性 它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定 所以只要保证序列低阶矩平稳 二阶 就能保证序列的主要性质近似稳定 时间序列数据的预处理 满足如下条件的序列称为宽平稳序列 时间序列数据的预处理 常数均值和方差自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度 而与时间的起止点无关延迟k自协方差函数延迟k自相关系数 平稳时间序列的统计性质 时间序列数据的预处理 平稳时间序列的意义 时间序列数据结构的特殊性可列多个随机变量 而每个变量只有一个样本观察值平稳性的重大意义极大地减少了随机变量的个数 并增加了待估变量的样本容量极大地简化了时序分析的难度 同时也提高了对特征统
4、计量的估计精度 时间序列数据的预处理 平稳性检验主要有两种方法 根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法构造检验统计量进行假设检验的方法 时间序列数据的预处理 2平稳性检验 时序图检验根据平稳时间序列均值 方差为常数的性质 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动 而且波动的范围有界 无明显趋势及周期特征 自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性 该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零 2 1平稳性的图检验 时间序列数据的预处理 例1检验1964年 1999年中国纱年产量序列的平稳性例2检验1962年1月 1975年12
5、月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例3检验1949年 1998年北京市每年最高气温序列的平稳性 平稳性检验 时间序列数据的预处理 例1平稳性检验 时间序列数据的预处理 平稳性检验 时间序列数据的预处理 平稳性检验 时间序列数据的预处理 例2自相关图 时间序列数据的预处理 例3时序图 时间序列数据的预处理 例3自相关图 时间序列数据的预处理 时间序列数据的预处理 等间隔时间数据的录入 程序说明 数据的录入 时间序列数据的预处理 等间隔时间数据的录入 程序说明 数据的录入 时间序列数据的预处理 数据的变换 程序说明 数据的录入 时间序列数据的预处理 取数据中的子集 程序说明 数据的录入 时间序列数
6、据的预处理 缺失数据的插入 程序说明 数据的录入 dataa inputsha year intnx year 1964 n 1 formatyearyear4 dif dif sha cards 97130156 5135 2137 7180 5205 2190188 6196 7180 3210 8196223238 2263 5292 6317335 4327321 9353 5397 8436 8465 7476 7462 6460 8501 8501 5489 5542 3512 2559 8542567 procgplot plotsha year 1dif year 2 symb
7、ol1v circlei joinc black symbol2v stari joinc red procarimadata a identifyvar shanlag 22 run 时间序列数据的预处理 1964年 1999年中国纱年产量SAS程序 时间序列数据的预处理 1962年1月 1975年12月平均每头奶牛月产奶量SAS程序 时间序列数据的预处理 1949年 1998年北京市每年最高气温SAS程序 纯随机序列的定义纯随机性的性质纯随机性检验 时间序列数据的预处理 3纯随机性检验 3 1纯随机序列的定义 纯随机序列也称为白噪声序列 它满足如下两条性质 时间序列数据的预处理 标准正态白
8、噪声序列时序图 时间序列数据的预处理 3 2白噪声序列的性质 纯随机性各序列值之间没有任何相关关系 即为 没有记忆 的序列方差齐性根据马尔可夫定理 只有方差齐性假定成立时 用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的 有效的线性无偏估计 时间序列数据的预处理 3 3纯随机性检验 检验原理假设条件检验统计量判别原则 时间序列数据的预处理 Barlett定理 如果一个时间序列是纯随机的 得到一个观察期数为的观察序列 那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零 方差为序列观察期数倒数的正态分布 时间序列数据的预处理 假设条件 原假设 延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设 延迟
9、期数小于或等于期的序列值之间有相关性 时间序列数据的预处理 检验统计量 Q统计量LB统计量 时间序列数据的预处理 判别原则 拒绝原假设当检验统计量大于分位点 或该统计量的P值小于时 则可以以的置信水平拒绝原假设 认为该序列为非白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点 或该统计量的P值大于时 则认为在的置信水平下无法拒绝原假设 即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定 时间序列数据的预处理 样本自相关图 例4随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列纯随机性检验 时间序列数据的预处理 检验结果 由于P值显著大于显著性水平 所以该序列不能拒绝纯随机的原假设 换句话说可以认为该序列的波动没有任何统计规
10、律可循 因此可以停止对该序列的统计分析 时间序列数据的预处理 数据预处理部分的小结 序列平稳性与纯随机性检验的基本步骤 1 绘制该序列时序图 2 自相关图检验 3 该序列若是平稳序列 进行纯随机性检验 实例 对1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验 时间序列数据的预处理 时间序列数据的预处理 dataa inputyearprop cards 数据省略 procgplot plotprop year 1 所画的图记为图1 symbol1v diamondi joinc red procarimadata a identifyvar prop run
11、相应的SAS程序 时间序列数据的预处理 1 绘制时序图 该序列显示北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列波动 貌似 比较平稳 时间序列数据的预处理 2 自相关图进一步检验平稳性 样本自相关图延迟3阶后 自相关系数都落在2倍标准差范围以内 而且自相关系数向零衰减的速度非常快 综合前两个步骤 可知北京市城乡居民定期储蓄所占比例为平稳序列 时间序列数据的预处理 3 序列纯随机性检验 结论 由于统计量的P值 0 0001 远远小于0 05 即拒绝序列为纯随机序列的假定 因而认为京市城乡居民定期储蓄所占比例的变动不属于纯随机波动 各序列值之间有相关关系 这说明我们可以根据历史信息预测未来年份的北京市城乡居民
12、定期储蓄所占比例 该平稳序列属于非白噪声序列 可以对其继续进行研究 时间序列数据的预处理 平稳时间序列数据分析方法性工具与两种相关系数自回归 AutoRegression AR 模型移动平均 MovingAverage MA 模型ARMA模型平稳序列建模 平稳时间序列数据分析 1 1方法性工具 差分运算 一阶差分阶差分步差分 平稳时间序列数据分析 1 方法性工具与两种相关系数 延迟算子 延迟算子类似于一个时间指针 当前序列值乘以一个延迟算子 就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子 有 平稳时间序列数据分析 延迟算子的性质 平稳时间序列数据分析 则有 用延迟算子表示差分 1
13、2两种样本相关系数的基本概念与计算 样本自相关系数 样本偏自相关系数 平稳时间序列数据分析 所谓滞后k阶偏自相关系数就是指在给定中间k 1个随机变量xt 1 xt 2 xt k 1的条件下 或者说 在剔除了中间k 1个随机变量的干扰之后 xt k对xt影响的相关度量 样本偏自相关系数的计算 平稳时间序列数据分析 2 AR模型的定义 具有如下结构的模型称为阶自回归模型 简记为特别当时 称为中心化模型 平稳时间序列数据分析 均值 如果AR p 模型满足平稳性条件 则有根据平稳序列均值为常数 且为白噪声序列 有推导出 平稳时间序列数据分析 AR P 序列中心化变换 称为的中心化序列 令 平稳时间序列
14、数据分析 中心化AR P 模型 引进延迟算子 中心化模型又可以简记为自回归系数多项式 平稳时间序列数据分析 AR模型自相关系数的性质 拖尾性呈负指数衰减 平稳时间序列数据分析 例5考察如下AR模型的自相关图 平稳时间序列数据分析 自相关系数按复指数单调收敛到零 平稳时间序列数据分析 自相关系数正负相间的衰减 平稳时间序列数据分析 自相关系数呈现出 伪周期 性 平稳时间序列数据分析 自相关系数不规则衰减 平稳时间序列数据分析 偏自相关系数的截尾性 AR p 模型偏自相关系数P阶截尾 平稳时间序列数据分析 例5续考察如下AR模型的偏自相关图 平稳时间序列数据分析 理论偏自相关系数 样本偏自相关图
15、平稳时间序列数据分析 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 平稳时间序列数据分析 理论偏自相关系数 样本偏自相关图 平稳时间序列数据分析 理论偏自相关系数 样本偏自相关系数图 平稳时间序列数据分析 3 MA模型的定义 具有如下结构的模型称为阶移动平均模型 简记为特别当时 称为中心化模型 平稳时间序列数据分析 移动平均系数多项式 引进延迟算子 中心化模型又可以简记为阶移动平均系数多项式 平稳时间序列数据分析 MA模型的统计性质 常数均值常数方差 平稳时间序列数据分析 MA模型的统计性质 MA模型的偏自相关系数拖尾 平稳时间序列数据分析 例6考察如下MA模型的相关性质 平稳时间序列数据分析 MA模型的
16、自相关系数截尾 平稳时间序列数据分析 MA模型的自相关系数截尾 平稳时间序列数据分析 MA模型的偏自相关系数拖尾 平稳时间序列数据分析 MA模型的偏自相关系数拖尾 平稳时间序列数据分析 4 ARMA模型的定义 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型 简记为特别当时 称为中心化模型 平稳时间序列数据分析 系数多项式 引进延迟算子 中心化模型又可以简记为阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式 平稳时间序列数据分析 ARMA p q 模型的统计性质 均值协方差自相关系数 平稳时间序列数据分析 ARMA模型的相关性 自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾 平稳时间序列数据分析 例7考察ARMA模型的相关性 拟合模型ARMA 1 1 并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质 平稳时间序列数据分析 自相关系数和偏自相关系数拖尾性 样本自相关图 样本偏自相关图 平稳时间序列数据分析 自相关系数和偏自相关系数拖尾 ARMA模型相关性特征 平稳时间序列数据分析 平稳时间序列数据分析 平稳时间序列的理论基础 对于任何一个离散平稳过程它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和 其中一个为确定性的 另一个为随机
