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1、第三节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.函数f(x)=13x3-4x+4的极大值为()A.283B.6C.263D.7答案Af (x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f (x)=0,得x=-2或x=2,则f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(-2)=283.2.函数y=xex在0,2上的最大值是()A.1eB.2e2C.0D.12e答案A易知y=1-xex,令y0,得0x1,令y0,得10时,令f (x)=0,得x=a,当x变化时, f (x)与f(x)的变化情况如下表:x(-,-a)-a(-a,a)a(a,+)f
2、 (x)+0-0+f(x)极大值极小值因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以a-1,2a,解得1a4.故选C.6.函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为.答案1解析f (x)=aex-cos x,若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则f (0)=a-1=0,解得a=1,经检验,a=1符合题意.7.已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.答案4解析f (x)=3x2+6ax+3b,由题意得322+6a2+3b=0,312+6a1+3b
3、=-3a=-1,b=0.所以f (x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2,所以f(x)在(-,0)和(2,+)上递增,在(0,2)上递减,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值为.答案-37解析由题意知, f (x)=6x2-12x,令f (x)=0,得x=0或x=2,当-2x0,当0x2时, f (x)0,f(x)在-2,0)上单调递增,在(0,2上单调递减,由条件知f(0)=m=3,f(2)=-5, f(-2)=-37,所求最小值为-37.9.(20
4、19河南洛阳调研)已知f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f (x)满足f (1)=2a, f (2)=-b,其中常数a,bR.(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)设g(x)=f (x)e-x,求函数g(x)的极值.解析(1)由题意知f (x)=3x2+2ax+b,则f (1)=3+2a+b=2a,f (2)=12+4a+b=-b,解得b=-3,a=-32.所以f(x)=x3-32x2-3x+1,则f (x)=3x2-3x-3.f(1)=-52,则f (1)=-3,故曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-52=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
5、(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,则g(x)=(-3x2+9x)e-x,令g(x)=0,得x=0或x=3,当x3时,g(x)0;当0x0.于是函数g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+)上单调递减.所以函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.10.已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, 则f (
6、0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f (x)0.所以函数f(x)在区间0,2上单调递减.因此f(x)在区间0,2上的最大值为f(0)=1,最小值为f2=-2.B组提升题组1.(2019广西南宁模拟)已知函数f(x)=ln x-x-1,g(x)=xf(x)+12x2+2x.(1)求f(x)的单调
7、区间;(2)若函数g(x)在区间(m,m+1)(mZ)内存在唯一的极值点,求m的值.解析(1)由已知得x0,f (x)=1x-1=1-xx.由f (x)0,得0x1,由f (x)1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)因为g(x)=xf(x)+12x2+2x=x(ln x-x-1)+12x2+2x=xln x-12x2+x,则g(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+2=f(x)+3.由(1)可知,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又g1e2=-2-1e2+2=-1e20,所以g(x)在(0,1)上有且只有一个零点,记为x1
8、.又在(0,x1)上g(x)0,g(x)在(x1,1)上单调递增.所以x1为极值点,此时m=0.又g(3)=ln 3-10,g(4)=2ln 2-20,g(x)在(3,x2)上单调递增;在(x2,4)上g(x)0时,若f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+ln x(x0),所以f (x)=2x-3+1x=2x2-3x+1x,所以f (1)=0.又f(1)=-2,所以切线方程为y=-2.(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域为(0,+),f (x)=2ax-(a+2)+1x=2ax2-(a+2)x+1x=(2x-1)(ax-1)x,令f (x)=0,解得x=12或x=1a.当01a1,即a1时,f(x)在1,e上单调递增.所以f(x)在1,e上的最小值为f(1)=-2,符合题意;当11ae,即1ea1时,f(x)在1,1a上单调递减,在1a,e上单调递增,所以f(x)在1,e上的最小值为f1af(1)=-2,不符合题意;当1ae,即0a1e时,f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)在1,e上的最小值为f(e)f(1)=-2,不符合题意.综上,实数a的取值范围是1,+).5
