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1、河北省永年县第一中学2014 2015 学年高二数学下学期期末考试试题理 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求 的 1 若集合A x 0 x 2 5 B x x4 则 A B 等于 A x x 3 或 x 4 B x 1 x 3 C x 3 x 4 D x 2 x0 的否定是 A x R x 2 2x 40 C x R x 2 2x 4 0 D x R x 2 2x 4 0 3 四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相 要求两名老人必须站在一起 则不同的排列方法为 A A 2 4A 2 2B A 5 5A 2 2 C
2、 A 5 5 D A 6 6 A 2 2 4 函数f x ln 4 3x x 2 的单调递减区间是 A 3 2 B 3 2 C 1 3 2 D 3 2 4 5 已知等差数列 an 满足a2 a4 4 a3 a5 10 则它的前10 项的和S10 A 138 B 135 C 95 D 23 6 已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F1作倾斜角为30 的直线与椭圆的一个交点P 且PF2 x 轴 则此椭圆的离心率e为 A 3 3 B 3 2 C 2 2 D 2 3 7 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0 x 2 y 2 x 2y 给
3、定 若M x y 为D上动点 点A的坐标为 2 1 则z OM OA 的最大值为 A 42 B 32 C 4 D 3 8 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A a 2 B 7 3 a 2 C 11 3 a 2 D 5 a2 9 用 min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2 x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 A 7 B 6 C 5 D 4 10 设f x 是周期为 2 的奇函数 当0 x 1 时 f x 2x 1 x 则f 5 2 A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 11 函数f x 的
4、部分图像如图所示 则函数f x 的解析式是 A f x x sinx B f x cosx x C f x xcosx D f x x x 2 x 3 2 12 已知f x 为定义在 上的可导函数 且f x e 2 f 0 f 2010 e 2010 f 0 B f 2 e 2010 f 0 C f 2 e 2 f 0 f 2010 e 2010 f 0 D f 2 e 2 f 0 f 2010 0 10 x x 0 则f f 2 14 双曲线 x 2 4 y 2 4 1 的焦点为F1 F2 点P为其上的动点 当 F1PF2为钝角时 点P横坐标的取值范围是 15 关于x的方程 x 2 4x 3
5、 a x至少有三个不相等的实数根 则实数a的取值范围是 16 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3 个数为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分10 分 A B C为 ABC的三个内角 且其对边分别为a b c 若m cos A 2 sin A 2 n cos A 2 sin A 2 且m n 1 2 1 求角A的大小 2 若a 23 三角形面积S 3 求b c的值 18 本题满分12 分 若 f x为二次函数 1 和 3 是方程 40f xx的两根 0 1f 1 求 fx的解
6、析式 2 若在区间 1 1 上 不等式mxxf2 有解 求实数m的取值范围 19 本题满分12 分 已知二次函数y f x 的图像经过坐标原点 其导函数为 f x 6x 2 数列 an 的前n项和为Sn 点列 n Sn n N 均在函数 y f x 的图像上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 3 anan 1 Tn是数列 bn 的前n项和 求使得Tn m 20对所有 n N 都成立 的最小正整数m 20 本题满分12 分 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E为AB的中点 1 求直线B1C与DE所成的角的余弦值 2 求证 平面EB1D 平面B1CD 3 求二面角E B1C D
7、的余弦值 21 本题满分12 分 已知函数f x 1 2x 2 mlnx 1 若函数f x 在 1 2 上是递增的 求实数 m的取值范围 2 当m 2 时 求函数f x 在 1 e 上的最大值和最小值 22 本小题 12 分 某民营企业生产A B两种产品 根据市场调查和预测 A产品的利润与投资成正比 其关系如 图 1 B产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图2 注 利润与投资单位是万元 1 分别将A B两种产品的利润表示为投资的函数 并写出它们的函数关系式 2 该企业已筹集到10 万元资金 并全部投入A B两种产品的生产 问 怎样分配这10 万元投资 才能是企业 获得最大利润 其最大利
8、润约为多少万元 精确到 1万元 理科数学答案 一 选择题 D D B D C A C B B A C A 二 填空题 13 2 14 6 2 2 6 15 a 1 3 4 16 n 2 n 6 2 三 解答题 17 解 1 设 4 1 3 f xxa xx即 1 3 4 f xa xxx 由 0 3411faa 1 2 xxxf 2 由题意 mxxx21 2 在 1 1 上有解 即 2 31mxx在 1 1 上有解 设 2 31 1 1 g xxxx 则 xg在 1 1 上递减 max 1 5mg xg 18 解析 1 m n cos 2A 2 sin 2A 2 cos A 1 2 cosA
9、1 2 A 0 180 A 120 2 S ABC 1 2bcsin120 3 bc 4 又 a 2 b 2 c 2 2bccos120 b 2 c 2 bc b c 2 bc 12 b c 4 19 解析 1 设这个二次函数f x ax 2 bx a 0 则f x 2ax b 由于f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以f x 3x 2 2x 又因为点 n Sn n N 均在函数y f x 的图像上 所以Sn 3n 2 2n 当n 1 时 a1 S1 1 当n 2 时 an Sn Sn 1 3n 2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 又 n 1 时也符合 故 an 的通项公式为a
10、n 6n 5 2 由 1 得bn 3 anan 1 3 6n 5 6n 1 5 1 2 1 6n 5 1 6n 1 故Tn 1 2 1 1 7 1 7 1 13 1 6n 5 1 6n 1 1 2 1 1 6n 1 因此 使 1 2 1 1 6n 1 m 20 n N 成立的m 必须且仅需满足 1 2 m 20 即 m 10 所以满足要求的最小正整数m为 10 20 解析解法一 1 连接A1D 则由A1D B1C知 B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角即为A1D与DE所成的角 连接A1E 由正方体ABCD A1B1C1D1 可设其棱长为a 则A1D 2a A1E DE 5 2 a co
11、s A1DE A1D 2 DE 2 A1E 2 2 A1D DE 10 5 直线B1C与DE所成的角的余弦值是 10 5 2 取B1C的中点F B1D的中点G 连接BF EG GF CD 平面BCC 1B1 且BF 平面BCC 1B1 DC BF 又 BF B1C CD B1C C BF 平面B1CD 又 GF綊1 2CD BE綊1 2CD GF綊BE 四边形BFGE是平行四边形 BF GE GE 平面B1CD GE 平面EB1D 平面EB1D 平面B1CD 3 连接EF CD B1C GF CD GF B1C 又 GE 平面B1CD EF B1C EFG是二面角E B1C D的平面角 设正方
12、体的棱长为a 则在 EFG中 GF 1 2a EF 3 2 a cos EFG FG EF 3 3 二面角E B1C D的余弦值为 3 3 解法二 如图所示建立空间直角坐标系D xyz 设D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 B1 2 2 2 则E 2 1 0 1 DE 2 1 0 CB1 2 0 2 cos CB1 DE CB1 DE CB1 DE 4 22 5 10 5 DE与B1C所成角的余弦值是 10 5 2 取B1D的中点F 连接EF F 1 1 1 E 2 1 0 EF 1 0 1 DC 0 2 0 EF DC 0 EF CB1 0 EF DC EF CB
13、1 又 CD B1C C EF 平面B1CD EF 平面EB1D 平面EB1D 平面B1CD 3 设平面B1CD的一个法向量为m 1 a b 由 m DC 1 a b 0 2 0 2a 0 m DB1 1 a b 2 2 2 2 2a 2b 0 解得a 0 b 1 m 1 0 1 设平面EB1C的一个法向量n 1 c d 由 n EC 1 c d 2 1 0 2 c 0 n CB1 1 c d 2 0 2 2 2d 0 解得c 2 d 1 n 1 2 1 cos m n m n m n 2 2 6 3 3 二面角E B1C D的余弦值为 3 3 21 解 1 若函数 f x 在 1 2 上是增
14、函数 则 f x 0 在 1 2 上恒成立 而 f x x m x 即 m x 2 在 1 2 上恒成立 即 m 1 4 2 当 m 2 时 f x x 2 x x 2 2 x 令 f x 0 得 x 2 当 x 1 2 时 f x 0 故 x 2是函数 f x 在 1 e 上唯一的极小值点 故 f x min f 2 1 ln2 又 f 1 1 2 f e 1 2 e 2 2 e 2 4 2 1 2 故 f x max e 2 4 2 22 解 1 投资为x万元 A产品的利润为f x 万元 B产品的利润为g x 万元 由题设f x k1 x g x k2 x 由图知f 1 1 4 k1 1 4 又 g 4 5 2 k2 5 4 从而f x 1 4x x 0 g x 5 4 x x 0 2 设A产品投入x万元 则B产品投入10 x万元 设企业的利润为y万元 y f x g 10 x x 4 5 4 10 x 0 x 10 令10 x t 则y 10 t 2 4 5 4t 1 4 t 5 2 2 25 16 0 t 10 当t 5 2 ymax 4 此时x 10 25 4 3 75 当A产品投入3 75 万元 B产品投入6 25 万元时 企业获得最大利润约为4 万元
