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1、考点规范练55几何概型一、基础巩固1.若在区间-1,4内取一个数x,则2x-2x24的概率是()A.12B.13C.25D.35答案D解析因为2x-2x24,所以x2-x-20,即-1x2,所以所求概率为2-(-1)4-(-1)=35.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.2B.4C.6D.8答案B解析所求概率为S半圆S长方形=121221=4,故选B.3.(2018湖南衡阳二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,
2、有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.1213B.113C.314D.213答案B解析设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大
3、约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案D解析由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为5001-45=100(m).5.已知在ABC中,ABC=60,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案C解析如图,当BE=1时,AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,ABD为钝角三角形;当BF=4时,BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,ABD为钝角三角形.故ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻
4、出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.316D.12+332答案B解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间-1,1上随机取一个数x,则sinx4的值介于-12与22之间的概率为()A.14B.13C.23D.56答案D解析-1x1,-4x44.由-12sinx422,得-6x44,则-23x1.故所求事件的概率为1-231-(-1)=56.8.记函数f(x)=
5、6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.答案59解析由6+x-x20,即x2-x-60得-2x3,所以D=-2,3-4,5.由几何概型的概率公式得xD的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A=(x,y)|x2+y24和集合B=(x,y)|x+y-20,x0,y0表示的平面区域分别为1和2,若在区域1内任取一点M(x,y),则点M落在区域2的概率为.答案12解析作圆O:x2+y2=4,区域1就是圆O内部(含边界),其面积为4,区域2就是图中AOB内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24=12.10.(2018江西教学质量监测)在圆
6、C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角COP0,y0内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内是增函数的概率为.答案13解析作出不等式组x+y-40,x0,y0所对应的平面区域如图AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为SAOB=1244=8.若f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内是增函数,则a0,-2b2a=ba12,即a0,a-2b0.则A(0,4),B(4,0),由a+b-4=0,a-2b=0得a=83,b=43.即C83,43.则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内为增函数的点(a,b)所构成的区域为OBC,其面积为12443
7、=83.故所求的概率为838=13.15.如图,在RtABC中,BAC=90,AB=1,BC=2.在边BC上任取一点M,则AMB90的概率为.答案14解析如图,在RtABC中,作ADBC,D为垂足,由题意可得BD=12,且点M在BD上时,满足AMB90,故所求概率为BDBC=122=14.16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是.答案78解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为11-12121211=78.三、高考预测17.若不等式x2+y22所表示的平面区域为M,不等式组x-y0,x+y0,y2x-6表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为.答案24解析分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为14(2)2=2,平面区域N的面积为1232+1236=12,故所求的概率为1212=24.8
