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1、茂名市 2020 届高三第一次综合测试 数学 文 试题 一 单选题 1 已知集合 24AxZx 2 230Bx xx 则ABI A 2 1B 1 3C 1 0D 0 1 2 答案 D 解析 根据题意可知1 0 1 2 3A 解不等式 2 230 xx 得13x 即 13Bxx 再与集合 A取交集 即可 详解 24AxZx 1 0 1 2 3A 又 2 230 13Bx xxxx 0 1 2AB 故选 D 点睛 本题考查集合的运算 属于容易题 2 i为虚数单位 复数 2 1 i z i 在复平面内对应的点所在象限为 A 第二象限B 第一象限C 第四象限D 第三象限 答案 C 解析 2 i1 2i
2、 i1i1 i1i1 z 复数 2 1 i z i 在复平面内对应坐标为 1 1 所以复数 2 1 i z i 在复平面内对应的点在第四象限 故选C 3 在集合1 2和3 4 5中各取一个数字组成一个两位数 则这个两位数能被4 整除 的概率为 A 1 12 B 1 3 C 1 4 D 1 6 答案 C 解析 列举出所有可能的两位数 从中找出能被 4整除的数 根据古典概型概率计算 公式 计算出所求的概率 详解 在1 2和3 4 5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13 31 14 41 15 51 23 32 24 42 25 52 共 12 个 其中能被4 整除的两位数是24 3
3、2 52 共 3 个 所求概率为 31 124 故选 C 点睛 本小题主要考查古典概型的概率计算 属于基础题 4 已知定义在R上的奇函数fx是单调函数 且fx满足 1 1 2 f 则 A 1 2 2 ffB 1 2 2 ffC 1 2 2 ffD 1 1 2 f 答案 B 解析 根据函数fx为奇函数 求得1f的值 由此判断出fx的单调性 进 而得出 1 2 2 ff 详解 1 1 2 f由奇函数的定义得 1 11 2 ff 11ff fx是R上的单调函数 fx在R上单调递减 故 1 2 2 ff D 选项无法判断 故选 B 点睛 本小题主要考查函数的奇偶性和单调性 属于基础题 5 已知实数 x
4、 y满足 5 210 220 xy xy xy 则3zxy的最小值为 A 1 B 3 C 5 D 11 答案 A 解析 画出可行域 平移基准直线3yx 到可行域边界点 由此求得目标函数的最 小值 详解 画出可行域 由图可知 可行域三个顶点分别为2 3A 4 1B 0 1C 当直线3yx 平移到点 0 1C时 取到最小值为 3 011z 故选 A 点睛 本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值 考查数形结合的数学思想方法 属于基 础题 6 公元 263 年左右 我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求 圆周率 他从单位圆内接正六边形算起 令边数一倍一倍地增加 即 12 24 48
5、 192 逐个算出正六边形 正十二边形 正二十四边形 正一百九十二边形 的面积 这些数值逐步地逼近圆面积 刘徽算到了正一百九十二边形 这时候的近 似值是 3 141024 刘徽称这个方法为 割圆术 并且把 割圆术 的特点概括为 割之弥 细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽这种想法的 可贵之处在于用已知的 可求的逼近未知的 要求的 用有限逼近无穷 这种思想极 其重要 对后世产生了巨大影响 按照上面 割圆术 用正二十四边形估算圆周率 则 的近似值是 精确到 0 01 参考数据sin150 2588 A 3 14 B 3 11 C 3 10 D 3 05 答案 B 解析
6、 圆内接正二十四边形的中心即为圆心 连接圆心与正二十四边形的各个顶点 构成 24 个全等的等腰三角形 并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r 顶角为 360 15 24 o o 根据圆面积2 Sr 利用三角形面积公式in 1 2 sSabC 计算正二十 四边形的面积 2 1 24sin15 2 Sr o 求解即可 详解 由题意可知 单位圆面积 2 Sr 正二十四边形的面积 21 241sin15 2 S o 则 22 1 24sin15 2 rr o 即 12sin15120 25883 10563 11 o 故选 B 点睛 本题考查三角形面积公式 属于较易题 7 已知 1 tan 43 则
7、sin 2 A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 答案 D 解析 利用两角差的正切公式 求得tan的值 然后利用 1 的代换的方法 将sin2 转化为只含tan的形式 由此求得sin2的值 详解 1 tan 43 tantan 44 1 tantan 1 44 3 2 1 11tantan 344 2222 2sincos2tan224 sin 2 sincostan1215 故选 D 点睛 本小题主要考查两角差的正切公式 考查齐次方程 考查化归与转化的数学思想方法 属于基础题 8 在ABC中 60BC 2AB 且点M满足 2BMCM uuuu ruuuu r 则 AMBC uuuu
8、 r uu u r A 3 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 利用 AB AC uuu r u uu r 为基底表示出 AM BC u uuu r uuu r 利用向量数量积的运算求得 AMBC uuuu r uuu r 详解 依题意ABC是等边三角形 C为BM的 中点 2ABAC 选取 AB uuu r AC uu u r 为基向量 则 2AMACCMACBCACAB uuuu ruuu ruu uu ru uu ruuu ru uu ruu u r BCACAB u uu ruuu ru uu r 2AMBCACABACAB uuuu r uuu ruuu ru uu ruu u
9、ruuu r22 23ACABAC AB uuu ruuu ruu u r uuu r 22 23cos60ACABACAB uuu ru uu ruuu ruu u r 1 2 4432 26 2 故选 B 点睛 本小题主要考查平面向量的基本定理 考查向量数量积的运算 考查化归与转化的数学 思想方法 属于基础题 9 某三棱锥的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 2 B 4 3 C 2 3 D 1 3 答案 C 解析 画出三视图对应的原图 根据锥体体积计算公式 计算出几何体的体积 详解 如图所示 由三视图可知 在三棱锥PABC中 PA平面ABC PA平面ABC底面ABC为等腰三角形 且底边
10、长为2 高为 1 故三棱锥的体积为 1112 2 1 2 3323 PABCABC VSPA 故选 C 点睛 本小题主要考查三视图还原为原图 考查锥体体积计算 属于基础题 10 已知1 F 2 F 为双曲线C 22 22 1 xy ab 0a 0b 的左 右焦点 点P在双 曲线C上 且线段 1 PF的中点坐标为0 b 则双曲线 C的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 2 答案 C 解析 设线段 1 PF的中点为 M 连接OM 2 PF 则 2 1 2 OMPF 即 222PFOMb 根据双曲线的定义可知 122PFab 在12 Rt F F P中 222 1212 PFPFF F 即 2ba
11、 根据 2 2 1 cb e aa 求解 即可 详解 设线段 1 PF的中点为 M 连接OM 2PF 线段 1 PF的中点 M 坐标为0 b 点P在双曲线C的右支上 如图所示 原点O为线段 12 F F的中点 2 1 2 OMPF 即212PFF F 222PFOMb 由双曲线的定义可知 12 2PFPFa 即 1 22PFab 12 2F Fc 在 12 Rt F F P 中 222 1212 PFPFF F 即 222 2222abbc 整理得2ba 2 2 2 1125 cb e aa 故选 C 点睛 本题考查求双曲线的离心率 属于中档题 11 下列函数图象中 函数 x fxx eZ的图
12、象不可能的是 A B C D 答案 C 解析 当2时 验证 A正确 当 2时 验证B正确 当1时 验证D正 确 详解 当2时 2x fxx e 定义域为 R关于原点对称 2 2xx fxxex efx 则 f x 为偶函数 当 0 x 时 2x fxx e 则 2222 2 2 0 xxxxxx fxx exeexxex exex 即函数fx在0 上单调递增 则函数fx在 0上单调递减 此时函数fx的图象可能为 A选项 当2时 2 x e fx x 定义为 x xR且0 x关于原点对称 22 xx ee fxfx x x 则 f x 为偶函数 当 0 x 时 2 x e fx x 则 22 2
13、 2243 2 2 2 xx xxxx exxe ex exeex fx xxx x 当02x时0fx 即函数 fx 在 0 2 上单调递减 当 2x 时0fx 即则函数fx在2 上单调递增 根据对称性可知 此时函数fx的图象可能为 B选项 当 1时 x fxxe 定义为 R关于原点对称 xx fxx exefx 则 f x 为奇函数 当0 x时 x fxxe 则 1 0 xxxxxx fxxexeexexeex 令1 x g xex 则 111 2 0 xxxx gxexexexex 即0fx并且在0 上单调递增 并且 f x 在0 上单调递增 根据对称性可知 此时函数 fx 的图象可能为D
14、选项 故选 C 点睛 本题考查函数的图象 判断函数的奇偶性 利用导数判断函数的单调性 属于较难的题 12 已知函数 2 1 1 ln 1 axaxx fx xaxx aR 若函数 fx 有四个零点 则 a 的取值范围是 A 0B eC 4 D 2 4 e 答案 C 解析 由题意易知 0a时不满足题意 当0a且1x时 2 1fxaxax 为 开口向上 对称轴为 1 2 x 的二次函数 最多两个零点 当0a且1x时 lnfxxax 1 axa fx xx 当 xa时fx单调递增 当xa时 fx单调递减 最多两个零点 若使得函数fx有四个零点 则需 1 1 0 2 0 a f fa 求 解即可 详解
15、 当 0a 时 1 1 1 x fx xx 函数fx无零点 舍去 当0a且1x时 2 1fxaxax 为开口向下 对称轴为 1 2 x的二次函数 2 1111 110 2224 faaa 1110faa 则 1x 时 函数fx与x轴只有一个交点 当0a且 1x 时 lnfxxax ln10 axa fxxax xx 函数fx在 1 上单调递增 11fxf 则1x时 函数 fx 与x轴无交点 则当0a时 函数fx有一个零点 与题意不符 舍去 当 0a 且 1x 时 2 1fxaxax 为开口向上 对称轴为 1 2 x的二次函数 2 1111 11 2224 faaa 1110faa 函数fx在
16、1最多有两个零点 当0a且1x时lnfxxax ln1 axa fxxax xx 当x a时fx 单调递增 当 xa时fx 单调递减 lnfaaaa 函数fx在 1 最多有两个零点 若使得函数fx有四个零点 则需 1 1 0 2 0 a f fa 即 1 1 10 4 ln0 a a aaa 解得4a 故选 C 点睛 本题考查根据函数零点个数 求参数的取值范围 属于较难的题 二 填空题 13 已知圆C的圆心坐标是0 m 若直线 10 xy 与圆C相切于点2 1A 则m 答案 3 解析 利用直线CA与直线 10 xy 垂直得到 1 ACl kk 由此列方程求得 m的 值 或利用圆心到切线的距离等于半径 结合两点间的距离公式列方程 解方程求得 m的 值 详解 依题意直线CA与直线10 xy垂直 所以1 ACl kk 即 1 11 2 m 故 3m 或利用圆心到切线的距离等于半径得 2 2 1 12 2 m m 解得3m 故答案为 3 点睛 本小题主要考查直线和圆的位置关系 考查方程的思想 属于基础题 14 已知数列 n a满足0 n a 且lg n a 1 lg n a 2 lg n a成
