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1、 共 7 页 第 1 页 长治市 2019 年高三年级九月份统一联考 理科 数学答案 1 5 C B A D D 6 10 A B A B C 11 12 A A 13 0 14 1 15 42 16 13 17 17 解 sincoscos cos sin sincos f xxxx x x xx 2 1 3 2 3121 2 222 31 22 22 sinx2 6 4分 又因为xx 21 的最小值为 2 所以 22 T 即 2 2 T 所以1 即sin2 6 fxx 6分 123 sinsincos 233625 f 7分 1555 sinsinsin 2126613 f 所以 5 si
2、n 13 8 分 又因为 0 2 所以 412 sin cos 513 10 分 所以 3124556 coscoscossinsin 51351365 12 分 18 解 1 证明方法一如图 1 过 E 作 EO BC 垂足为O 连接 OF 由题意得 ABC DBC 可证出 EOC FOC 所以 EOC FOC 即 FO BC 又 EO BC EO FO O 共 7 页 第 2 页 因此 BC 平面 EFO 又 EF 平面 EFO 所以 EF BC 6分 方法二由题意 以 B 为坐标原点 在平面 DBC 内过 B 作垂直于BC 的直线为x 轴 BC 所 在直线为y 轴 在平面ABC 内过 B
3、 作垂直 BC 的直线为z 轴 建立如图 2 所示的空间直角 坐标系 易得 B 0 0 0 A 0 1 D 1 0 C 0 2 0 因而 E 0 F 0 所以 0 0 2 0 因此 0 从而 所以 EF BC 6分 2 解方法一如图 1 过 O 作 OG BF 垂足为G 连接 EG 由平面 ABC 平面 BDC 从而 EO 平面 BDC 又 OG BF 由三垂线定理知EG BF 因此 EGO 为二面角E BF C 的平面角 在 EOC 中 EO EC FC BC BC cos 30 由 BGO BFC 知 OG FC 因此 tan EGO 2 从而 sin EGO 共 7 页 第 3 页 即二
4、面角 E BF C 的正弦值为 12 分 方法二如图 2 平面 BFC 的一个法向量为n1 0 0 1 设平面 BEF 的法向量为n2 x y z 又 0 0 由得其中一个n2 1 1 设二面角 E BF C 的大小为 且由题意知 为锐角 则 cos cos n1 n2 因此 sin 即二面角E BF C 的正弦值为 12 分 19 解 焦点到准线的距离为2 即 2p 所以求抛物线C 的方程为 2 4xy 2 分 抛物线的方程为 2 4xy 即 21 4 yx 所以 1 2 yx 3 分 设 11 A xy 22 B xy 2 11 11 42 xx lyxx 2 22 22 42 xx ly
5、xx 由于 12 ll 所以 12 1 22 xx 即 12 4x x 5 分 设直线l方程为ykxm 与抛物线方程联立 得 2 4 ykxm xy 所以 2 440 xkxm 2 16160km 1212 4 44xxk x xm 所以1m 7 分 即 1lykx 共 7 页 第 4 页 联立方程 2 11 2 22 24 24 xx yx xx yx 得 2 1 xk y 即 2 1Mk 8 分 M点到直线l的距离 2 22 21 21 1 11 k kk d kk 9 分 2 22 1212 144 1ABkxxx xk 10 分 所以 2 3 22 2 2 21 1 4 14 14 2
6、 1 k Skk k 11 分 当0k时 MAB面积取得最小值4 12 分 20 1 因为一篇学位论文初评被认定为 存在问题学位论文 的概率为 2分 一篇学位论文复评被认定为 存在问题学位论文 的概率为 C3 1 1 2 1 1 2 3 分 所以一篇学位论文被认定为 存在问题学位论文 的概率为 5 分 2 设每篇学位论文的评审费为元 则的可能取值为900 1500 7分 所以 8 分 令 共 7 页 第 5 页 9分 当时 在上单调递增 当时 在上单调递减 所以的最大值为 11分 所以实施此方案 最高费用为 万元 综上 若以此方案实施 不会超过预算 12 分 21 解 1 2 2 21 1 1
7、 1 1 xx xx fxxaexaxe xaxa exaxe 1 分 当1a时 0fx 解得1 xxa或 0fx 解得1ax f x 在 1 a上是增函数 在 1 a上是减函数 2 分 当1a时 0fx 解得 1xax或 0fx 解得1xa f x 在 1 a上是增函数 在 1 a上是减函数 3 分 当1a时 0fx恒成立 且只在1x时 0fx f x 在 R 上是增函数 4分 2 R 时 sin 1 1 cos 若要R 使得 sin cos 1gf成立 只需 1 1 x时 maxmin 1g xf x成立 5 分 由 1 知当1a时 f x 在 1 1 上是增函数 min 3 1 a f
8、xf e 6 分 当11a时 f x 在 1 a 上是减函数 在 1 a 上是增函数 min 1 a a f xfa e 7 分 当1a时 f x 在 1 1 上是减函数 min 1 1 f xfae 8 分 共 7 页 第 6 页 2 22g xxaxa 对称轴xa 当1a时 g x 在 1 1 上是增函数 max 1 41g xga maxmin 3 411 a g xf xa e 解得 3 41 a e 1a 9 分 当11a时 g x 在 1 a上是增函数 在 1 a上是减函数 2 max 2g xg aaa 2 maxmin 1 21 a a g xf xaa e 整理得 1 1 1
9、 0 a a aa e e 11a 只需 1 10 a a e 令 1 1 x h xx e 2 x h xx e 当11x时 0h x h x在 1 1 上 是增函数 又 0 0h 0a时 0h a 01a 11 分 当1a时 g x 在 1 1 上是减函数 max 1 1g xg maxmin 1 1 1g xf xae 解得1a 综上所述 0a或1a 12 分 22 解 1 由题意 曲线的直角坐标方程为 4 分 2 设直线的参数方程为 cos 1sin xt yt 为参数 代入曲线的方程有 6分 设点对应的参数分别为 则 则 8 分 直线的方程为 10 分 23 解 1 当 a 3 时
10、f x 2x 5 x 2 1 2 x 3 2x 5 x 3 2 分 当 x 2 时 由 f x 3 得 2x 5 3 解得 x 1 3 分 C 22 1 169 xy lC 22 7sin932sin1280tt A B 12 t t 21 2tt 1212 32sin 97sin ttt 2 1212 128 2 97sin ttt 2 sin1l0 x 共 7 页 第 7 页 当 2 x 3 时 f x 3 无解 4 分 当 x 3 时 由 f x 3 得 2x 5 3 解得 x 4 所以 f x 3 的解集为 x x 1或 x 4 5 分 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当 x 1 2 时 x 4 x 2 x a 7 分 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 8 分 由条件得 2 a 1且 2 a 2 即 3 a 0 9 分 故满足条件的a 的取值范围为 3 0 10 分
