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1、银川一中 2020 届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 满分60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 设集合 1 2 4 A 2 40 Bx xxm 若 1 BA 则 B A 1 3B 1 0C 1 3D 1 5 2 设复数1 z 2 z 在复平面内的对应点关于虚轴对称 1 3zi 则 12 z z A 10 B 9iC 9iD 10 3 已知向量 4
2、 3 2 xba 若 baa 则 x A 2 1 B 1 C 2 D 3 4 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 36 23aa 5 35S 则 n a的公差为 A 2 B 3 C 6 D 9 5 已知 是空间中两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列说法正确 的是 A 若 nm 则nm B 若 m 则 m C 若 n 则 n D 若nm l 且lnlm 则 6 某学校计划在周一至周四的艺术节上展演 雷雨 茶馆 天籁 马蹄声碎 四部话 剧 每天一部 受多种因素影响 话剧 雷雨 不能在周一和周四上演 茶馆 不能在周一和 周三上演 天籁 不能在周三和周四上演 马蹄声碎 不能在周一和周四上演
3、 那么下列说 法正确的是 A 雷雨 只能在周二上演B 茶馆 可能在周二或周四上演 C 周三可能上演 雷雨 或 马蹄声碎 D 四部话剧都有可能在周二上演 7 函数x e xf x cos 1 1 2 其中 e为自然对数的底数 图象的大致形状是 A B C D 8 被誉为 中国现代数学之父 的著名数学家华罗庚先生倡导的 0 618优选法 在生产和科研实践中 得到了非常广泛的应用 0 618就是黄金分割比 51 2 m 的近似值 黄金分割比还可以表示成 2sin18 则 2 2 4 2cos 271 mm A 4 B 51 C 2 D 51 9 已知 yx 满足约束条件 0 02 02 my yx
4、yx 若目标函数yxz2的最大值为3 则实数 m 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 10 如图是某几何体的三视图 正视图是等边三角形 侧视图和俯视图为直角三角形 则该几何体外接 球的表面积为 A 19 3 B 8 C 9 D 20 3 11 已知函数 0 sin 42 cossin2 22 x x xxf在区间 6 5 3 2 上是增函数 且在 区间 0 上恰好取得一次最大值 则的范围是 A 5 3 0 B 5 3 2 1 C 4 3 2 1 D 2 5 2 1 12 若 x a b均为任意实数 且 22 2 3 1ab 则 22 ln xaxb的最小值为 A 3 2B 18C 3 2
5、1 D 19 6 2 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 ABC的内角CBA 的对边分别为 cba 若 1 13 5 cos 5 4 cosaBA 则b 14 已知函数1 1ln 2 xxxf 若 2 af 则 af 15 已知函数 2 cos f nnn 且 1 n af nf n 则 1220 aaa 16 已知四边形ABCD 为矩形 AB 2AD 4 M 为 AB 的中点 将 ADM 沿 DM 折起 得到四棱 锥DMBCA1 设CA 1 的中点为N 在翻折过程中 得到如下三个命题 DMA 1 平面BN 且BN的长度为定值 5 三棱锥DMCN的体积最大值为 3
6、22 在翻折过程中 存在某个位置 使得CADM 1 其中正确命题的序号为 三 解答题 共70 分 解答时应写出必要的文字说明 演算步骤 第 17 21 题为必考题 第 22 23 题为选考题 一 必考题 共60 分 17 12 分 已知函数 sin 3 f xAx xR 0A 0 2 yf x的部分图像 如图 所示 P Q分别为该图像的最高点和最低点 点P的坐标为 1 A 1 求 f x 的最小正周期及的值 2 若点 R的坐标为 1 0 2 3 PRQ 求 A的值 18 12 分 已知数列 n a满足 1 2 1 2 11 nnSnnSa nn 1 证明数列 n Sn 是等差数列 并求出数列
7、n a的通项公式 2 设 naaaabn 2 842 求 n b x y O P R Q 19 12 分 如图 菱形ABCD的边长为12 60BAD o AC与BD交于O点 将菱形ABCD沿对角 线AC折起 得到三棱锥BACD 点M是棱BC的中点 6 2DM 1 求证 平面 ODM 平面 ABC 2 求二面角MADC的余弦值 20 12 分 如图 在四棱锥SABCD中 侧棱SA底面ABCD 底面ABCD是直角梯形 AD BC ABAD 且2SAABBC 1AD M是棱SB的中点 1 求证 AM 平面SCD 2 求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值 3 设点N是线段CD上的动点 MN与平
8、面SAB所成的角为 求sin的最大值 21 12 分 已知函数 1 2 Raxaxexf x 1 讨论 f 的单调性 2 若 f 有两个零点 求a 的取值范围 二 选考题 共 10 分 请考生在第22 23 两题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 已知圆C 2cos 2sin x y 为参数 点P在直线l 40 xy上 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 1 求圆C和直线l的极坐标方程 2 射线OP交圆C于R 点Q在射线OP上 且满足 2 OPOROQ 求Q点轨迹的极坐 标方程 23 选修 4 5 不等式选
9、讲 已知函数 2 f xxkxkR 2 g xxmmZ 1 若关于的不等式1g x 的整数解有且仅有一个值 4 当 2k时 求不等式f xm 的解 集 2 若 2 23h xxx 若 12 0 xRx 使得12 f xh x 成立 求实数的取值范 围 银川一中 2020届高三年级第四次月考 理科 参考答案 一 选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B B C A C C A B D 二 填空题 13 13 20 14 0 15 20 16 三 解答题 17 1 解 由题意得 2 6 3 T 2 分 因为 1 AP 在 3 sin xAy的图象上 所
10、以1 3 sin 4 分 又因为0 2 所以 6 6 分 2 解 设 点Q的 坐 标 为 0 xA 由 题 意 可 知 0 3 362 x 得 0 4 4 xQA所以 8 分 连接 PQ 在 2 3 PRQPRQ中 由余弦定理得 222222 2 9 94 1 cos 22 29 RPRQPQAAA PRQ RP RQ AA 10 分 解得 2 3 A又0 3 AA所以 12 分 18 解 1 由 1121nnnSnSn n 得 1 2 1 nn SS nn 3 分 所以数列 n S n 是首项为 2 公差为2的等差数列 所以2212 n S nn n 即 2 2 n Sn 4 分 当2n时
11、2 2 1 22142 nnn aSSnnn 由于1 2a 也满足此式 所以 na的通项公式 42 n an 6 分 2 由42 n an 得 2 2 42222n nn a 所以 8 分 248n baaa 2n a 345 222222 2 22 n 345 222 2 22 n n 3 3 212 2228 12 n n nn 12 分 19 解 1 证明 ABCDQ 是菱形 ADDC ODAC 1 分 ADC中 12 120ADDCADC o 6OD 又M是BC中点 1 6 6 2 2 OMABMD 222 ODOMMDDOOMQ 3 分 OMAC 面 ABC OMACOODI 面AB
12、C 5 分 又QOD平面ODM 平面ODM 平面ABC 6 分 2 由题意 ODOC OBOC 又由 知OBOD建立如图所示空间直角坐 标系 由条件易知6 0 0 0 6 3 0 0 3 3 3DAM 7 分 故 0 36 6 3 39 0 ADAM设平面MAD的法向量 zyxm 则 0 0 ADm AMm 即 9 330 66 30 yz xy 令3y 则3 9xz 所以 9 3 3 m 9 分 由条件易证OB平面ACD 故取其法向量为 1 0 0 n 10 分 所以 31 933 cos nm nm nm 11 分 由图知二面角 MADC为锐二面角 故其余弦值为 3 93 31 12 分
13、20 解 1 以点 A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则0 0 0 0 2 0 2 2 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1ABCDSM 0 1 1 1 0 2 1 2 0AMSDCD uu uu ru u u ruuu r 1 分 设平面SCD的一个法向量为 n x y z 则 0 0 nCD nSD20 20 xz xy 令1z 得 1 1 2 n 0nAM 即 nAM 3 分 AM平面SCD AM 平面SCD 4 分 2 取平面 SAB 的一个法向量 0 0 1 m 5 分 则 cos nm nm nm 26 3 16 7 分 平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为
14、6 3 8 分 3 设 22 0N xx 12 x 则 1 32 xxMN 平面SAB的一个法向量为 0 0 1 m cos sinmMN 222 11 sin 51210 11137 1012510 55 x xx xxx 11 分 当 13 5x 即 5 3 x时 sin取得最大值 且 max 35 sin 7 12 分 21 解 1 2 1 1 2 1 aexxaexxf xx 1 分 0a时 当 1 x时 0 xf 当 1 x 时 0 xf 所以 f 在 1 单调递减 在 1 单调递增 2 分 0a时 若 e a 2 1 则 1 xx eexxf 所以 f 在 单调递增 3 分 若 e
15、 a 2 1 则 1 2ln a 故当 1 2ln ax 时 0 xf 1 2 ln ax 0 xf 所以 f 在 1 2ln a 单调递增 在 1 2 ln a 单调递减 5 分 若 e a 2 1 则 1 2ln a 故当 2 ln 1 ax 0 xf 2ln 1 ax 0 xf 所以 f 在 2 ln 1 a 单调递增 在 2ln 1 a 单调递减 6 分 2 当a 0 则由 1 知 f 在 1 单调递减 在 1 单调递增 又 0 1 1 e f 0 0 af 取 b 满足1b 且 2 ln2 a b 则0 2 3 1 2 2 2 22 bbabab a bf 所以 f 有两个零点 8
16、分 当a 0 则 x xexf 所以 f 只有一个零点 9 分 当a 0 若 e a 2 1 则由 1 知 f 在 1 单调递增 又当1x时 0 xf 故 f 不存在两个零点 10 分 e a 2 1 则由 1 知 f 在 2ln 1 a 单调递减 在 2 ln a 单调递增 又当 1x f 0 故 f 不存在两个零点 11 分 综上 a 的取值范围为 0 12 分 22 解 1 圆C的极坐标方程 2 3 分 直线l的极坐标方程 4 sin cos 5 分 2 设 P Q R的极坐标分别为 12 因为 12 4 2 sincos 6分 又因为 2 OPOROQ 即 2 12 9 分 2 1 2 2 161 sincos 2 8 1sin2 10 分 23 解 1 由题意 不等式 1g x 即21xm 所以 2 1 2 1m x m 又由 11 543 22 mm 解得 79m 因为Zm 所以8m 2分 当2k时 2 2 22 4 2 2 2 2 xx x xx xxxf 不等式8f x 等价于 2 28 x x 或 22 48 x 或 2 28 x x 即42x 或22x 或24x 综
