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1、北京市海淀区2020 届高三上学期期末 数学试题 一 单选题 1 已知集合1 2 3 4 5 6U 13 5A 2 3 4B 则集合UABI e是 A 1 3 5 6 B 1 3 5 C 1 3 D 1 5 答案 D 解析 利用补集和交集的定义可求出集合 U ABI e 详解 集合1 2 3 4 5 6U 13 5A 2 3 4B 则1 5 6 UB e 因此 1 5 U ABI e 故选 D 点睛 本题考查交集与补集的混合运算 熟悉交集和补集的定义是解题的关键 考查计算能力 属于基础 题 2 抛物线 2 4yx 的焦点坐标为 A 1 0B 1 0C 0 1D 0 1 答案 B 解析 解 由
2、抛物线方程的特点可知 抛物线的焦点位于x轴正半轴 由24p 可得 1 2 p 即焦点坐标为1 0 本题选择B 选项 3 下列直线与圆 22 112xy相切的是 A yx B yx C 2yxD 2yx 答案 A 解析 观察到选项中的直线都过原点 且圆也过原点 只需求出圆在原点处的切线方程即可 详解 由于选项中各直线均过原点 且原点在圆上 圆心坐标为1 1 圆心与原点连线的斜率为 1 所以 圆 22 112xy在原点处的切线方程为 yx 故选 A 点睛 本题考查直线与圆的位置关系的判断 考查计算能力 属于基础题 4 已知 a b R 且 a b 则 A 11 ab B sinsinabC 11
3、33 ab D 22 ab 答案 C 解析 利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误 详解 对于 A 选项 取1a 1b 则 ab成立 但 11 ab A 选项错误 对于 B 选项 取a 0b 则 ab成立 但sinsin0 即sinsinab B 选项错误 对于 C 选项 由于指数函数 1 3 x y 在R上单调递减 若ab 则 11 33 ab C 选项正确 对于 D 选项 取1a 2b 则 ab 但 22 ab D 选项错误 故选 C 点睛 本题考查不等式正误的判断 常用特殊值法 函数单调性与不等式的性质进行判断 考查推理能力 属于中等题 5 在 5 1 x x 的展开式中
4、3 x 的系数为 A 5B 5C 10D 10 答案 A 解析 写出二项展开式的通项 令x的指数为 3 求出参数的值 代入通项即可计算出 3 x 的系数 详解 5 1 x x 的展开式通项为 55 2 55 1 1 k k kkkk CxCx x 令523k 得1k 因此 3 x 的系数为 1 5 15C 故选 A 点睛 本题考查二项展开式中指定项系数的求解 解题时要熟练利用二项展开式通项计算 考查计算能力 属于基础题 6 已知平面向量 a r b r c r 满足 0abc rrrr 且 1abc rrr 则 a b r r 的值为 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 答案 A
5、解析 由等式 0abc rrrr 得 abc rrr 等式两边平方可求出 a b r r 的值 详解 由 0abc rrrr 可得 abc rrr 等式两边平方得 222 2caba b rrrr r 即 221a b r r 因此 1 2 a b r r 故选 A 点睛 本题考查平面向量数量积的计算 解题的关键就是对等式进行变形 考查计算能力 属于中等题 7 已知 是三个不同的平面 且mI nI 则 m n 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 根据几何模型与面面平行的性质定理 结合充分条件和必要条件的定义可判断出 m n
6、 是 的必要而不充分条件 详解 如下图所示 将平面 视为三棱柱的三个侧面 设 a 将a m n视为三棱柱 三条侧棱所在直线 则 m n 另一方面 若 且mI nI 由面面平行的性质定理可得出 m n 所以 m n 因此 m n 是 的必要而不充分条件 故选 B 点睛 本题考查必要不充分条件的判断 同时也考查了空间中平行关系的判断 考查推理能力 属于中等 题 8 已知等边ABC边长为3 点D在BC边上 且BDCD 7AD 下列结论中错误的是 A 2 BD CD B 2 ABD ACD S S C cos 2 cos BAD CAD D sin 2 sin BAD CAD 答案 C 解析 利用余弦
7、定理计算出 BD 结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断 详解 如下图所示 点D在BC边上 且BDCD 13 22 BDBC 由余弦定理得 222 2cos 3 ADABBDAB BD 整理得 2 320BDBD 3 2 BDQ 解得2BD 1CD 则 2 ABD ACD SBD SCD 由正弦定理得 sinsin sin 3 BDADCD BADCAD 所以 sin 2 sin BADBD CADCD 由余弦定理得 222 2 7 cos 27 ABADBD BAD AB AD 同理可得 5 7 cos 14 CAD 则 cos2 7144 2 cos75 5 7 BAD CAD
8、故选 C 点睛 本题考查三角形线段长 面积以及三角函数值比值的计算 涉及余弦定理以及正弦定理的应用 考 查计算能力 属于中等题 9 声音的等级fx 单位 dB 与声音强度 x 单位 2 Wm 满足 12 10lg 1 10 x fx 喷 气式飞机起飞时 声音的等级约为140dB 一般说话时 声音的等级约为60dB 那么喷气式飞机 起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A 6 10倍 B 8 10倍 C 10 10倍 D 12 10 倍 答案 B 解析 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 1 x 2 x 根据题意得出 1 140fx 2 60fx 计算出 1 x和 2 x的值
9、 可计算出 1 2 x x 的值 详解 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 1 x 2 x 由题意可得 1 112 10lg140 1 10 x fx 解得 2 1 10 x 2 2 12 10lg60 1 10 x fx 解得 6 2 10 x 所以 8 1 2 10 x x 因此 喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 8 10倍 故选 B 点睛 本题考查对数函数模型的应用 同时也涉及了指数与对数式的互化 考查计算能力 属于中等题 10 若点N为点M 在平面上的正投影 则记NfM 如图 在棱长为 1的正方体 1111 ABCDA B C D中 记平面 11 AB
10、C D为 平面ABCD为 点 P是棱1 CC 上一动点 与C 1 C不重合 1 QffP 2 QffP 给出下列三个结论 线段 2 PQ 长度的取值范围是 12 22 存在点P使得 1 PQ 平面 存在点P使得 12 PQPQ 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 答案 D 解析 以点 D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别为x轴 y轴 轴建立空间直角坐标 系D xyz 设点 P的坐标为 0 1 01aa 求出点 1 Q 2 Q 的坐标 然后利用向量法判断出 命题 的正误 详解 取 1 C D的中点 2 Q 过点P在平面 11 ABC D内作 1 PEC D 再过点 E在平面11
11、 CC D D内作 1 EQCD 垂足为点 1 Q 在正方体 1111 ABCDA B C D中 AD平面 11 CC D D PE平面11 CC D D PEAD 又 1 PEC DQ 1 ADC DDI PE平面11 ABC D 即PE fPE 同理可证 1 EQ CQ 则 1 ffPfEQ 2 ffPfCQ 以点D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别为x轴 y轴 轴建立空间直角坐标系 Dxyz 设01CPaa 则0 1 Pa 0 1 0C 11 0 22 aa E 1 1 0 0 2 a Q 2 1 1 0 2 2 Q 对于命题 2 2 11 42 PQa 01aQ 则 111
12、222 a 则 2 11 0 24 a 所 以 2 2 1112 4222 PQa 命题 正确 对于命题 2 CQQ 则平面的一个法向量为2 1 1 0 2 2 CQ uu uu r 1 1 0 2 a PQa u uu u r 令 21 113 0 424 aaa CQPQ uuuu r u uu u r 解得 1 0 1 3 a 所以 存在点P使得 1 PQ平面 命题 正确 对于命题 2 1 12 0 22 a PQ uuuu r 令 12 211 0 42 aaa PQPQ uuu u r u uu u r 整理得 2 4310aa 该方程无解 所以 不存在点P使得 12 PQPQ 命题
13、 错误 故选 D 点睛 本题考查立体几何中线面关系 线线关系的判断 同时也涉及了立体几何中的新定义 利用空间向 量法处理是解题的关键 考查推理能力 属于中等题 二 填空题 11 在等差数列 n a中 若 25 5 2aa 则 7 a 答案 0 解析 试题分析 设等差数列 n a的公差为d 由已知得 52 33aad 所以1d 所以 72 5550aad 考点 等差数列的通项公式 12 若复数 1i i z 则z 答案 2 解析 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式 然后利用复数的模长公式可计算出z的值 详解 2 11 11 iii zi ii ii Q 因此 2 2 112z 故答案为 2
14、点睛 本题考查复数模的计算 同时也考查了复数的除法运算 考查计算能力 属于基础题 13 已知点0 3A 点B C分别为双曲线 22 2 10 3 xy a a 的左 右顶点 若ABC为正三 角形 则该双曲线的离心率为 答案 2 解析 根据ABC为等边三角形求出a的值 可求出双曲线的焦距 即可得出双曲线的离心率 详解 由于 ABC为正三角形 则 3 tan3 OA ABC OBa 得1a 所以 双曲线的半焦距为 2 32ca 因此 该双曲线的离心率为 2 2 1 c e a 故答案为 2 点睛 本题考查双曲线离心率的计算 解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量 考查计算能力 属于 基础题 14
15、已知函数 a fxx x 在区间1 4上存在最小值 则实数 a的取值范围是 答案 1 16 解析 由题意可知 函数yfx在区间1 4上存在极小值 分0a和0a两种情况讨论 分析函数yfx在区间1 4上的单调性 在0a时求出函数yfx的极值点xa 可 得出1 4a 解出即可 详解 a fxx x Q 2 22 1 axa fx xx 当0a时 对任意的1 4x 0fx 此时 函数yfx在区间1 4上为增函数 则函 数yfx在区间1 4上没有最小值 当0a时 令 2 2 0 xa fx x 可得xa 当0 xa时 0fx 当 xa时 0fx 此时 函数yfx的极小值点为 xa 由题意可得14a 解
16、得116a 因此 实数a的取值范围是1 16 故答案为 1 16 点睛 本题考查利用函数的最值点求参数 解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系 考查运算求解能 力 属于中等题 15 用 五点法 作函数sinfxA x的图象时 列表如下 x 1 4 1 2 5 4 2 11 4 x 0 2 3 2 2 fx0 2 0 2 0 则1f 1 0 2 ff 答案 20 解析 根据表格中的数据求出 A 的值 可得出函数yfx的解析式 然后代值计算可 得出1f和 1 0 2 ff的值 详解 由表格中的数据可知 max 2Afx 函数yfx的最小正周期为 111 3 44 T 22 3T 2 2sin 3 fxx 当 1 2 x时 则 21 322 解得 6 则 2 2sin 36 fxx 2 12sin2sin2 632 f 1 02sin2sin0 266 ff 故答案为 2 0 点睛 本题考查三角函数值的计算 解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式 考查计算能力 属于中等题 16 已知曲线 4422 1Cxymx y m为常数 i 给出下列结论 曲线C为中心对称图形 曲线C为轴对称图形
