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1、九江市 2020 年第一次高考模拟统一考试 数 学 试 题 理科 本试卷分第I 卷 选择题 和第II卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时间120 分钟 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的学号 姓名等项内容填写在答题卡上 2 第 I 卷每小题选出答案后 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷 答题卡一并收回 第 卷 选择题60 分 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符
2、合题 目要求的 1 已知集合 15 Mxx 2 Nxx 则MNI A A 12xxB 25xxC 15 xxD 02 xx 解 22NxxQ 12 MNxxI 故选 A 2 设复数满足 1 i 2z 则在复平面内所对应的点位于 D A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解 2 1i 1i zQ 故选 D 3 已知非零向量a r b r 满足 ab rr 则 2 2 abab rrrr 是 ab rr 的 C A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解 222222 22224444ababababaa bbaa bb rrrrrrrrrrrrrr r
3、r 0ab rr Q 202 a baaabbb rrrrrrrr 故选 C 4 已知实数 x y满足约束条件 20 22 0 xy xy xy 则3zxy的最大值为 C A 4B 2C 14 5 D 0 解如图 作出可行域 当直线 30l xy平移至经过点 2 4 5 5 A时 3zxy取得最大值 14 5 故选 C 5 设等差数列 n a的前项和为 n S 已知 313 1352aS 则 9 S B A 9B 18C 27D 36 解 31337 13131352aSaaQ 37 4aa 37 5 2 2 aa a 95 99218Sa 故选 B O A y 2 1 3 x12 2 1 1
4、 3 23 3 6 已知函数 f x 是定义在R上的偶函数 当0 x时 e x f xx 则 3 2 2 af 2 log 9 bf 5 cf的大小关系为 C A abcB acbC bacD bca 解依题意得 33 22 2 2 aff 3 2 2 522 23log 9Q 当0 x时 f x在 0 上单调 递增 3 2 2 log 9 2 5 fff 即bac 故选 C 7 我国古代典籍 周易 用 卦 描述万物的变化 每一卦由六爻组成 其中有一种起卦方法称为 金钱 起卦法 其做法为 取三枚相同的钱币合于双手中 上下摇动数下使钱币翻滚摩擦 再随意抛撒钱币到 桌面或平盘等硬物上 如此重复六次
5、 得到六爻 若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上 就称为变爻 若每一枚钱币正面向上的概率为 1 2 则一卦中恰有两个变爻的概率为 D A 1 4 B 15 64 C 240 729 D 1215 4096 解 由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率 3 11 2 24 p 得到六爻实际为六次独立重复试验 224 6 131215 2 444096 P xC 故选 D 8 已知函数 sin f xAx 0 0 2 A 的部分图像如图所 示 若 0f axf ax 则a的最小值为 A A 12 B 6 C 3 D 5 12 解由图象易知2A 0 1f 即2sin1 2 Q 6 由图可知 11
6、2 N 126 kk 242 11 k 11 12 311 412 T T Q 1824 1111 由1k得2 2sin 2 6 f xx 0f axf axQ f x关于点 0 a对称 即 有 2 6 ak 212 k a Zk a的最小值为 12 故选 A 9 过抛物线 2 2 0 ypx p的焦点F且斜率大于0 的直线l交抛物线于点 A B 点A位于第一象限 交 其准线于点C 若3BCBF 且3AF 则直线AB的方程为 A A 2 22 20 xyB 22 20 xy C 2 220 xyD 220 xy y x 2 1 O 2 解作 1 AA 准线于 1 A 1 BB 准线于 1 B
7、11 FFAA于 1 F 在 1 Rt BCB中 1 1 cos BB CBB BC 1 3 BF BC 1 tan2 2CBB l的斜率为22 又 11 BCBAFF 1 1 1 3 AFAF 11 2pA F 直线AB的方程为2 2 1 yx 即22220 xy 故选 A 10 半正多面体 semiregular solid 亦称 阿基米德多面体 是由边数 不全相同的正多边形为面的多面体 体现了数学的对称美 二十四等边体 就是一种半正多面体 是由正方体切截而成的 它由八个正三角形和六个 正方形为面的半正多面体 如图所示 图中网格是边长为1 的正方形 粗线 部分是某二十四等边体的三视图 则该
8、几何体的体积为 D A 8 3 B 4 C 16 3 D 20 3 解如图所示 图中红色的部分为该二十四等边体的直观图 由三视图可知 该几何体的棱长为2 它是由棱长为2 的正方体沿各棱中点截去8 个三棱 锥所得到的 该几何体的体积为 1120 22281 1 1 323 V 故选 D 11 定义 aab ab bab 已知函数 2 1 2sin f x x 2 1 2cos g x x 则函数 F xf xg x的最小值为 A A 2 3 B 1 C 4 3 D 2 解依题意得 F xf x F xg x 则2 F xf xg x 22 2222 11111 2sin 2cos 2sin2co
9、s3 2sin2cos f xg xxx xxxx 2222 2222 12cos2sin12cos2sin4 2 22 32sin2cos32sin2cos3 xxxx xxxx 当且仅当 2 2 2cos 2sin x x 2 2 2sin 2cos x x 即 22 1 sincos 2 xx时 成立 此时 2 3 f xg x 4 2 3 F x F x的最 小值为 2 3 故选 A 12 在平面直角坐标系xOy中 已知 n A n B是圆 222 xyn上两个动点 且满足 2 2 nn n OAOB uuu u r uuu u r x y A B1 F1 A1 C B F O Nn
10、设 n A n B到直线3 1 0 xyn n的距离之和的最大值为 n a 若数列 1 n a 的前n项 和 n Sm恒成立 则实数m的取值范围是 B A 3 4 B 3 4 C 3 2 D 3 2 解 由 2 2 nn n OAOB uu uu r uuuu r 可得120 nn A OB 设线段nn A B 的中点为n C 则n C 在圆 2 22 4 n xy上 n A n B到直线3 1 0 xyn n的距离之和等于点 n C到该直线的距离的两倍 点 n C到直线距离的 最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和 2 1 2 2 22 n n nn ann 2 111 11 222 n a
11、nnnn 11113 1 22124 n S nn 3 4 m 故选 B 第 卷 非选择题90 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 学生根据要求作答 二 填空题本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 曲线 2 e 2 x yx在点 0 2 处的切线方程为22yx 解 2 e 22 x fxxxQ 0 2f 又 0 2fQ 所求切线方程为22yx 即22yx 14 41 2 x x 的展开式中 2 x的系数为28 解 248 4 44 1 21 1 2 xxx x xxx Q 展开式中 2 x的系数为 2
12、8 28C 15 在三棱锥ABCD中 已知22 6BCCDBDABAD 且平面ABD平面BCD 则三 棱锥ABCD外接球的表面积为48 解在等边三角形BCD中 取BD的中点F 设等边三角形BCD的中心为O 连接AFCFOA 由6BC 得 2 2 3 3 BOCODOCF 3OF 由已知可得ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形 AFBD 又由已知可得平面 ABD 平面BCD AF 平面BCD AFOF 22 2 3OAOFAF O为三棱锥ABCD外接球的球心 外接球 半径2 3ROC 三棱锥ABCD外接球的表面积为 2 4 23 48 16 已知双曲线 22 22 1 xy C ab 0 0ab
13、 的左右焦点分别为 12 F F O为坐标原点 点M为双曲线右 B D A F O C 支上一点 若 12 2F FOM 21 tan2MF F 则双曲线C的离心率的取值范围为 1 5 解法一 12 2F FOMQ 12 2 F MF 22 2 12 4cMFMF 1 21 2 tan MF MF F MF 12 2MFMFaQ 22 12 222 2 1222 2222 12 1122 2 2 4 4 2 MFMF MFMFMFc e aMFMF MFMFMFMF MF 设 1 2 2 MF t MF 则 2 2 2 12 1 1 21 2 t e tt t t 115 2 22 t t 2
14、 15e 15e 法二 12 2F FOMQ 12 2 F MF 令 11 MFr 22 MFr 21 MF F tan2 1 2 sinrc 2 2 cosrc 12 2 2 sincos arrc 1 sincos e 2 2 2 111 5 2tan sincos1 sin2 1 1tan e 15e 三 解答题本大题共6 小题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 在ABC中 内角ABC 的对边分别是abc 已知 3 sinsinsinabAbBcC 求角C的值 若 1 3 sinsin 4 AB 2c 求ABC的面积 解 由 3 sinsins
15、inabAbBcC及正弦定理得 22 3 ab abc 即 222 3abcab 2 分 由余弦定理得 222 3 cos 22 abc C ab 4分 0 CQ 6 C 6 分 法一 设ABC外接圆的半径为R 则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C 8 分 2 sin4sinaRAA 2 sin4sinbRBB 16sinsin4 13 abAB 10分 111 sin4 13 13 222 ABC SabC 12分 法二 由 得 3 cos 2 C 即 3 coscossinsin 2 ABAB 1 3 sinsin 4 ABQ 13 coscos 4 AB 1 cos
16、coscossinsin 2 ABABAB 7 分 5 5 66 ABQ 3 AB或 3 BA 8 分 当 3 AB时 又 5 6 AB 7 12 A 4 B 9 分 由正弦定理得 2sin sin 4 22 sin sin 6 cB b C 10分 117 2123 sin2 22sin22 13 22122222 ABC SbcA 11分 当 3 BA时 同理可得13 ABC S 故ABC的面积为 13 12分 18 本小题满分12 分 如图 在三棱柱 111 ABCA BC中 已知四边形 11 AAC C为矩形 1 6AA 4ABAC 1 60BACBAA 1 A AC的角平分线AD交 1 CC 于D 求证平面BAD平面 11 AAC C 求二面角 111 AB CA的余弦值 解 如图 过点D作 DEAC交 1 AA于E 连接 CE BE 设ADCEOI 连接BO 1 ACAAQ DEAE 又AD为 1 A AC的角平分线 四边形AEDC为正方形 CEAD 1 分 又ACAEQ BACBAE BABA BACBAE BCBE 2 分 又OQ为CE的中点 CEBO 3 分 又 AD
