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1、第七章立体几何 第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 1 简单几何体 1 多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且相等多边形互相平行 侧棱平行且相等 相交于一点 但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 2 旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 互相平行且相 等 垂直于底面 相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的等腰梯形圆 侧面展开图矩形扇形扇环 2 直观图 1 画法 常用斜二测画法 2 规则 原图形中轴 y 轴 轴两两垂直 直观图中 轴 y 轴的夹角为45 或 135 轴与 轴和y 轴所在平面垂直 原图形中平
2、行于坐标轴的线段 直观图中仍平行于坐标轴 平行于轴和轴的线段在直 观图中保持原长度不变 平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原的一半 3 三视图 1 几何体的三视图包括正视图 侧视图 俯视图 分别是从几何体的正前方 正左方 正上方观察几何体画出的轮廓线 2 三视图的画法 基本要求 长对正 高平齐 宽相等 画法规则 正侧一样高 正俯一样长 侧俯一样宽 看不到的线画虚线 小题体验 1 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥最长棱的长为 A 5B 22 C 3 D 23 解析 选 C在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 AD BC 的中点 该几何体的直观图如图中三棱锥D1
3、MNB1 故通过计算可得 D1B1 2 2 D1M B1N 5 MN 2 MB1 ND1 3 故该三棱锥中最长棱的长为3 2 教材习题改编 如图 长方体ABCD A B C D 被截去一部分 其中EH A D 则剩下的几何体是 截去的几何体是 答案 五棱柱三棱柱 1 台体可以看成是由锥体截得的 易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点 2 空间几何体不同放置时其三视图不一定相同 3 对于简单组合体 若相邻两物体的表面相交 表面的交线是它们的分界线 在三视 图中 易忽视实虚线的画法 小题纠偏 1 如图 能推断这个几何体可能是三棱台的是 A A1B1 2 AB 3 B1C1 3 BC 4 B A
4、1B1 1 AB 2 B1C1 3 2 BC 3 A 1C1 2 AC 3 C A1B1 1 AB 2 B1C1 3 2 BC 3 A 1C1 2 AC 4 D AB A1B1 BC B1C1 CA C1A1 解析 选 C根据棱台是由棱锥截成的 可知 A1B1 AB B1C1 BC A1C1 AC 故 A B 不正确 C 正确 D 项中满足这个条件的是一个三棱柱 不是三棱台 故D 不正确 2 用一个平行于水平面的平面去截球 得到如图所示的几何体 则它的俯视图是 解析 选 B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆 所以内圆是虚线 故选B 3 教材习题改编 利用斜二测画法得到的 三角形的直观图一定是三角形
5、 正方形的直观图一定是菱形 等腰梯形的直观图可以是平行四边形 菱形的直观图一定是菱形 以上结论正确的个数是 解析 由斜二测画法的规则可知 正确 错误 是一般的平行四边形 错误 等腰 梯形的直观图不可能是平行四边形 而菱形的直观图也不一定是菱形 也错误 答案 1 考点一空间几何体的结构特征基础送分型考点 自主练透 题组练透 1 用任意一个平面截一个几何体 各个截面都是圆面 则这个几何体一定是 A 圆柱B 圆锥 C 球体D 圆柱 圆锥 球体的组合体 解析 选 C截面是任意的且都是圆面 则该几何体为球体 2 给出下列几个命题 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 底面为正
6、多边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 棱台的上 下底面可以不相似 但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 A 0B 1 C 2 D 3 解析 选 B 不一定 只有这两点的连线平行于轴时才是母线 正确 错误 棱 台的上 下底面是相似且对应边平行的多边形 各侧棱延长线交于一点 但是侧棱长不一定 相等 3 给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则其三个侧面也两两垂直 在四棱柱中 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 其中正确命题的序号是 解析 不正确 根据棱柱的定义 棱柱的各个侧面都是平
7、行四边 形 但不一定全等 正确 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则三个侧 面构成的三个平面的二面角都是直二面角 正确 因为两个过相对侧 棱的截面的交线平行于侧棱 又垂直于底面 正确 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC 四个面都是直角三角形 答案 谨记通法 解决与空间几何体结构特征有关问题的3 个技巧 1 把握几何体的结构特征 要多观察实物 提高空间想象能力 2 紧扣结构特征是判断的关键 熟悉空间几何体的结构特征 依据条件构建几何模型 3 通过反例对结构特征进行辨析 考点二空间几何体的三视图重点保分型考点 师生共研 典例引领 1 2018 全国卷 中国古建筑借助榫卯将木构
8、件连接起 构 件的凸出部分叫榫头 凹进部分叫卯眼 图中木构件右边的小长方 体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 解析 选 A由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示 由直观图可知其俯视图应 选 A 2 2018 杭州模拟 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示 俯视图是边长为2 的正三 角形 那么该三棱锥的侧视图可能为 解析 选 B由正视图可看出长为2 的侧棱垂直于底面 侧视图为直角三角形 直角边 长为 2 另一直角边为底边三角形的高3 故侧视图可能为B 由题悟法 1 已知几何体 识别三视图的技巧 已知几何体画三视图时 可先找出各个顶
9、点在投影面上的投影 然后再确定线在投影面 上的实虚 2 已知三视图 判断几何体的技巧 1 对柱 锥 台 球的三视图要熟悉 2 明确三视图的形成原理 并能结合空间想象将三视图还原为直观图 3 遵循 长对正 高平齐 宽相等 的原则 提醒 对于简单组合体的三视图 应注意它们的交线的位置 区分好实线和虚线的不 同 即时应用 1 2018 沈阳教学质量监测 牟合方盖 是我国古代数学家刘徽 在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 它由完全相同 的四个曲面构成 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 好似两个扣 合 牟合 在一起的方形伞 方盖 其直观图如图 图中四边形是为体现 其直观性所作的辅助线 当
10、其正视图和侧视图完全相同时 它的俯视图可能是 解析 选 B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知 当正视图和侧视图完全相同 时 俯视图为B 故选 B 2 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的直观图可以是 解析 选 D由俯视图是圆环可排除A B C 进一步将已知三视图还原为几何体 可得选项D 考点三空间几何体的直观图重点保分型考点 师生共研 典例引领 2018 杭州模拟 在等腰梯形ABCD 中 上底CD 1 腰 AD CB 2 下底 AB 3 以下底所在直线为轴 则由斜二测画法画出的直观图A B C D 的面积为 解析 画出等腰梯形ABCD 的实际图形及直观图A B C D 如图所示 因为O
11、E 2 2 12 1 所以 O E 1 2 E F 2 4 所以直观图A B C D 的面积为 S 1 2 1 3 2 4 2 2 答案 2 2 由题悟法 原图与直观图中的 三变 与 三不变 1 三变 坐标轴的夹角改变 与y轴平行的线段的长度改变减半 图形改变 2 三不变 平行性不变 与x轴平行的线段长度不变 相对位置不变 即时应用 如图 矩形 O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中 O A 6 cm O C 2 cm 则原图形是 A 正方形B 矩形 C 菱形D 一般的平行四边形 解析 选 C如图 在原图形OABC 中 应有OD 2O D 2 2 2 4 2 cm CD C D
12、 2 cm OC OD 2 CD2 42 2 22 6 cm OA OC 故四边形OABC 是菱形 一抓基础 多练小题做到眼疾手快 1 某几何体的正视图和侧视图完全相同 均如图所示 则该几何体的俯视图一定不可 能是 解析 选 D几何体的正视图和侧视图完全一样 则几何体从正面看和侧面看的长度相 等 只有等边三角形不可能 2 下列说法正确的是 A 棱柱的两个底面是全等的正多边形 B 平行于棱柱侧棱的截面是矩形 C 直棱柱 正棱柱 D 正四面体 正三棱锥 解析 选 D因为选项A 中两个底面全等 但不一定是正多边形 选项B 中一般的棱 柱不能保证侧棱与底面垂直 即截面是平行四边形 但不一定是矩形 选项
13、C 中 正棱柱 直棱柱 故 A B C 都错 选项D 中 正四面体是各条棱均相等的正三棱锥 故正确 3 2019 杭州四校联考 如图所示的为一个几何体的三视图 则该几何体的直观图是 解析 选 A对于 A 该几何体的三视图恰好与已知图形相符 故 A 符合题意 对于 B 该几何体的正视图中 对角线是虚线 故B 不符合题意 对于C 该几何体的正视图中 对 角线是从左上到右下的 故C 不符合题意 对于D 该几何体的侧视图中 对角线是虚线 故 D 不符合题意 故选A 4 2019 台州质检 如图 网络纸上正方形小格的边长为1 粗 线画出的是某几何体的三视图 则该几何体中最长棱的长度为 A 62B 63
14、C 8 D 9 解析 选 D由三视图还原几何体如图 该几何体为三棱锥 侧棱PA 底面 ABC 底面三角形ABC 为等腰三角形 且 PB 62 3 2 2 3 6 PC 62 3 5 2 9 则该几何体中最长棱的长度为 9 故选 D 5 在如图所示的直观图中 四边形O A B C 为菱形且边长 为 2 cm 则在直角坐标系Oy 中 四边形ABCO 的形状为 面积为 cm 2 解析 由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm 宽为 2 cm 的矩形 所以四 边形 ABCO 的面积为8 cm2 答案 矩形8 二保高考 全练题型做到高考达标 1 2018 台州模拟 一个简单几何体的正视图 俯视图
15、如图所示 则其侧视图不可能为 A 正方形B 圆 C 等腰三角形D 直角梯形 解析 选 D该几何体是一个长方体时 其中一个侧面为正方形 A 可能 该几何体是 一个横放的圆柱时 B 可能 该几何体是横放的三棱柱时 C 可能 只有D 不可能 2 如图所示是水平放置三角形的直观图 点D 是 ABC 的 BC 边中点 AB BC 分别 与 y 轴 轴平行 则三条线段AB AD AC 中 A 最长的是AB 最短的是AC B 最长的是AC 最短的是AB C 最长的是AB 最短的是AD D 最长的是AC 最短的是AD 解析 选 B由条件知 原平面图形中AB BC 从而 AB AD AC 3 2018 沈阳教学
16、质量监测 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的是一个 凸多面体的三视图 两个矩形 一个直角三角形 则这个几何体可能为 A 三棱台B 三棱柱 C 四棱柱D 四棱锥 解析 选 B根据三视图的法则 长对正 高平齐 宽相等 可得 几何体如图所示 这是一个三棱柱 4 2018 温州第八高中质检 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边 长均为 2 且侧棱AA1 平面 A1B1C1 正视图是边长为 2 的正方形 该三棱柱的侧视图面积 为 A 4B 23 C 22 D 3 解析 选 B由题可得 该几何体的侧视图是一个长方形 其底边长是底面正三角形的 高3 高为 2 所以侧视图的面积为S 2 3 5 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示 则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大 的是 A 3 B 2 5 C 6 D 8 解析 选 C四棱锥如图所示 取AD 的中点 N BC 的中点 M 连接 PM PN 则 PM 3 PN 5 S PAD 1 2 4 5 25 S PAB S PDC 1 2 2 3 3 S PBC 1 2 4 3 6 所以四个侧面中面积最大的是6 6 2018 台州模拟 如图
