《【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第十二章概率.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第十二章概率.pdf（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二章概率 考点 1 随机事件及其概率 1 2018 北京 4 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于 2 12 若第一个单音的频率为f 则第八个单音的频率为 A 2 3 B 2 2 3 C 2 5 12 D 2 7 12 1 D 因为每一个单音与前一个单音频率比为 2 12 所以 2 12 1 2 又 1 则 8 1 7 2 12 7 2 7 12 故选 D 2 2015 广东 4 袋中共有15 个除了
2、颜色外完全相同的球 其中有10 个白球 5 个红球 从 袋中任取2 个球 所取的2 个球中恰有1 个白球 1 个红球的概率为 A 1 B 11 21 C 10 21 D 5 21 2 C 从袋中任取2个球共有C 2 15 105 种取法 其中恰好1 个白球 1 个红球共有C110C 1 5 50 种取法 所以所取的球恰好1 个白球 1 个红球的概率为 50 105 10 21 3 2014 新课标全国 5 4 位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周 六 周日都有同学参加公益活动的概率为 A 1 8 B 5 8 C 3 8 D 7 8 3 D 由题意知 4 位同学各自在周六 周日
3、两天中任选一天参加公益活动有24种情况 而 4 位同学都选周六有1 种情况 4 位同学都选周日有1种情况 故周六 周日都有同学参加公 益活动的概率为P 24 1 1 24 14 16 7 8 故选 D 考点 2 古典概型与几何概型 1 2018 全国 10 下图自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半 圆构成 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC 直角边AB AC ABC 的三 边所围成的区域记为I 黑色部分记为II 其余部分记为III 在整个图形中随机取一点 此 点取自 I II III 的概率分别记为p1 p2 p3 则 A p1 p2B p1 p3 C p2
4、p3D p1 p2 p3 1 A 设 则有 2 2 2 从而可以求得 的面积为 1 1 2 黑色部分的面积为 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 2 4 1 2 2 2 2 4 1 2 1 2 其余部分的面积为 3 2 2 1 2 2 4 1 2 所以有 1 2 根据面积型几何概型的概率公式 可以得到 1 2 故选 A 2 2018 全国 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥 德巴赫猜想是 每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和 如30 7 23 在不超过 30 的素数中 随机选取两个不同的数 其和等于30的概率是 A 1 12 B 1 14 C
5、 1 15 D 1 18 2 C 不超过 30 的素数有2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 共 10 个 随机选取两个 不同的数 共有 10 2 45种方法 因为7 23 11 19 13 17 30 所以随机选取两个不同的 数 其和等于30 的有 3 种方法 故概率为 3 45 1 15 选 C 3 2017 新课标 2 如图 正方形ABCD内的图形自中国古代的太极图 正方形内切圆中 的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点取 自黑色部分的概率是 A B C D 3 B 根据图象的对称性知 黑色部分为圆面积的一半 设圆的半径为1 则正方形的
6、边长 为 2 则黑色部分的面积S 则对应概率P 故选 B 4 2017 山东 8 从分别标有1 2 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次 每次抽取 1 张 则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A B C D 4 C 从分别标有1 2 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次 共有 36 种不同情 况 且这些情况是等可能发生的 抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有 20 种 故抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率P 故选 C 5 2016 全国 4 某公司的班车在7 00 8 00 8 30 发车 小明在7 50 至 8 30 之间 到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是
7、随机的 则他等车时间不超过10 分钟的概率是 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 5 B 如图所示 画出时间轴 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中 而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时 才能保证他等车的时间不超过10 分钟 根据几何概型得所求概率P 10 10 40 1 2 故选 B 6 2016 全国 10 从区间 0 1 随机抽取2n 个数1 2 n y1 y2 yn 构成 n 个 数对 1 y1 2 y2 n yn 其中两数的平方和小于 1 的数对共有m 个 则用随机模 拟的方法得到的圆周率 的近似值为 A 4n m B 2n m C 4m n D 2m n 6
8、 C 由题意得 i yi i 1 2 n 在如图所示正方形中 而平方和小于1 的点均在如 图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知 4 1 m n 4m n 故选 C 7 2015 陕西 11 设复数 1 yi y R 若 1 则 y 的概率为 A 3 4 1 2 B 1 4 1 2 C 1 2 1 D 1 2 1 7 B 由 1可得 1 2 y2 1 表示以 1 0 为圆心 半径为1 的圆及其内部 满足y 的部 分为如图阴影所示 由几何概型概率公式可得所求概率为 P 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 4 1 2 8 2014 陕西 6 从正方形四个顶点及其中心这5 个点
9、中 任取2 个点 则这2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 8 C 从这 5 个点中任取2 个 有 C25 10 种取法 满足两点间的距离不小于正方形边长的 取法有 C2 4 6 种 因此所求概率P 6 10 3 5 故选 C 9 2014 湖北 7 由不等式组 x 0 y 0 y x 2 0 确定的平面区域记为 1 不等式组 x y 1 x y 2 确定的平面区域记为 2 在 1中随机取一点 则该点恰好在 2内的概率为 A 1 8 B 1 4 C 3 4 D 7 8 9 D 由题意作图 如图所示 1的面积为 1 2 2 2 2 图中阴影部
10、分的面积为 2 1 2 2 2 2 2 7 4 则所求的概率 P 7 4 2 7 8 选 D 10 2018 江苏 6 某兴趣小组有2 名男生和 3 名女生 现从中任选2 名学生去参加活动 则恰好选中2 名女生的概率为 10 3 10 从 5名学生中抽取2名学生 共有 10 种方法 其中恰好选中2 名女生的方法有3 种 因此所求概率为 3 10 11 2017 江苏 7 记函数f 定义域为D 在区间 4 5 上随机取一个 数 则 D 的概率是 11 由 6 2 0 得2 6 0 得 2 3 则 D 2 3 则在区间 4 5 上随机取一个数 则 D的概率 P 故答案为 12 2016 江苏 7
11、将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有1 2 3 4 5 6 个点的 正方体玩具 先后抛掷2 次 则出现向上的点数之和小于10 的概率是 12 5 6 基本事件共有36 个 如下 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 其中满足点数之和小于10 的有 30 个 故所求概率为P 30 36 5 6 13 2016 山东 14 在 1 1 上随机地取
12、一个数 则事件 直线y 与圆 5 2 y2 9 相交 发生的概率为 13 3 4 由已知得 圆心 5 0 到直线 y 的距离小于半径 5k k2 1 3 解得 3 4 0 5 故选 B 2 2018 浙江 7 设 0 pp2 E 1 E 2 B p1E 2 C p1 p2 E 1 E 2 D p1 p2 E 1 p2 E 1 P C 而当 n 3时 P C P C 理由如下 P C P C 等价于 2 2 1 4 2C n k k k 2 C n n 用数学归纳法证明 1 当 n 3 时 式左边 4 2 1 2 C 4 2 2 16 右边 3 6 C 20 所以 式成立 2 假设 n m m
13、3 时 式成立 2 22 1 4 2C C m km km k 即成立 那么 当n m 1 时 左边 1 2 2 1 4 2C m k k k 2 11 22 1 22 1 1 4 2C 4C C 4C m kmmm kmmm k 2m m m 4 2m 2 m 1 m 1 m 1 2 2m 2m 2 4m 1 m 1 m 1 m 1 2 2m 2m 2 4m m 1 m 1 Cm 1 2 m 1 2 m 1 m 2m 1 2m 1 C m 1 2 m 1 右边 即当 n m 1 时 式也成立 综合 1 2 得 对于n 3 的所有正整数 都有P C P C 成立 26 2014 安徽 17 甲
14、乙两人进行围棋比赛 约定先连胜两局者直接赢得比赛 若赛完 5 局仍 未出现连胜 则判定获胜局数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 2 3 乙获胜的概率为 1 3 各局比赛结果相互独立 1 求甲在 4 局以内 含 4 局 赢得比赛的概率 2 记为比赛决出胜负时的总局数 求的分布列和均值 数学期望 26 解用 A 表示 甲在 4 局以内 含 4 局 赢得比赛 A 表示 第局甲获胜 B 表示 第 局乙获胜 则P A 2 3 P B 1 3 1 2 3 4 5 1 P A P A1A2 P B1A2A3 P A1B2A3A4 P A1 P A2 P B1 P A2 P A3 P A1 P B2 P
15、A3 P A4 2 3 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 2 56 81 2 的可能取值为2 3 4 5 P 2 P A1A2 P B1B2 P A1 P A2 P B1 P B2 5 9 P 3 P B1A2A3 P A1B2B3 P B1 P A2 P A3 P A1 P B2 P B3 2 9 P 4 P A1B2A3A4 P B1A2B3B4 P A1 P B2 P A3 P A4 P B1 P A2 P B3 P B4 10 81 P 5 1 P 2 P 3 P 4 8 81 故的分布列为 2345 P 5 9 2 9 10 81 8 81 E 2 5 9 3 2 9
16、4 10 81 5 8 81 224 81 27 2014 福建 18 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000 位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球 球上所标的 面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元 其余3 个均为 10 元 求 顾客所获的奖励额为60 元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60 000 元 并规定袋中的4 个球只能由标有面值10 元和 50 元 的两种球组成 或标有面值20 元和 40 元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4 个球的面值给出一个合 适的设计 并说明理由 27 解 1 设顾客所获的奖励额为 依题意 得P 60 C11C13 C24 1 2 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 1 2 依题意 得的所有可能取值为20 60 P 60 1 2 P 20 C23 C24 1 2 即的分布列为 2060 P 1 2 1 2 所以顾客所获的奖励额的期望为
