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1、1 高二数学上学期期中试题理 含解析 一 选择题 本大题共12 小题 1 下列命题正确的是 A 若 则B 若 则 C 若 则D 若 则 2 已知两个等差数列 和 的前n项和分别为An和Bn 且 则 A B C D 3 九章算术 是我国古代内容极为丰富的一部数学专著 书中有如下问题 今有女 子善织 日增等尺 七日织二十八尺 第二日 第五日 第八日所织之和为十五尺 则第十日所织尺数为 A 11 B 10 C 9 D 8 4 设实数x y满足约束条件 则z 3x y的最小值是 A 1 B C D 5 若关于x的不等式 ax 2 3 的解集为 则a A B 2 C 3 D 6 在等比数列 an 中 a
2、2 a14是方程x 2 5 x 6 0 的两个根 则a8的值为 A 或B C D 或 7 方程x 2 2 ax 1 0 的两根分别在 0 1 与 1 3 内 则实数a的取值范围为 A B 或C D 8 已知 1 a b 4 1 a b 2 则 2a 4b的取值范围是 A B C D 9 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 则a7 A B C D 10 数列 an 满足a1 1 对任意n N 都有an 1 an n 1 则 A B C D 11 已知等差数列 an 的公差d 0 且a1 a3 a13成等比数列 若a1 1 Sn为数列 an 的前n项和 则的最小值为
3、 A 4 B 3 C D 2 2 12 若数列 an bn 的通项公式分别是 且an bn对任意n N 恒成立 则实数 a的取 值范围是 A B C D 二 填空题 本大题共4 小题 13 不等式的解集为 14 数列 an 中 a1 60 且an 1 an 3 则这个数列的前40 项的绝对值之和为 15 下列结论正确的序号是 当x 2 时 的最小值为2 当x 0 时 当 0 x 2时 无最大值 当x 0 且x 1 时 当时 16 在数列 an 中 a1 1 当n 2 时 其前n项和为Sn满足 设 数列 bn 的前n项和 为Tn 则满足Tn 6的最小正整数n是 三 解答题 本大题共6 小题 17
4、 已知不等式ax 2 3 x 2 0 的解集为A x 1 x b 1 求a b的值 2 求函数f x 2a b x x A 的最小值 18 已知函数f x 2x 3 2x 1 求不等式f x 8 的解集 若关于x的不等式f x 3m 1 有解 求实数m的取值范围 3 19 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 4 n N 证明 数列 an 2 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 设bn a2n 2 log3 an 2 求数列 bn 的前n项和Tn 20 设f x ax 2 1 a x a 3 1 若不等式f x 3 对一切实数x恒成立 求实数a的取值范围 2 解关于x的不等式f
5、x a 2 a R 21 已知数列 an 满足 1 1 1 n N Sn是数列 an 的前n项的和 1 求数列 an 的通项公式 2 若ap 30 Sq成等差数列 ap 18 Sq成等比数列 求正整数p q的值 3 是否存在k N 使得为数列 an 中的项 若存在 求出所有满足条件的k的 值 若不存在 请说明理由 22 已知数列 an 中 a1 1 a2 a 且an 1 k an an 2 对任意正整数n都成立 数列 an 的前n项和为Sn 1 若 且S2019 2019 求a 2 是否存在实数k 使数列 an 是公比不为1 的等比数列 且任意相邻三项am am 1 am 2按某顺序排列后成等
6、差数列 若存在 求出所有k的值 若不存在 请说 明理由 3 若 求Sn 4 5 答案和解析 1 答案 B 解析 解 A 取a 2 b 3 满足条件 则a 2 b 2 不成立 B 由a b 利用不等式的基本性质可得 a 2 b2 成立 C 取a 2 b 1 满足条件a 2 b 2 则 a b 不成立 D a 2 b 2 a b 则 不成立 故选 B 利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误 本题考查了不等式的基本性质 取特殊值法 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 2 答案 D 解析 解 依题意 数列 an 和 bn 为等差数列 所以A9 9a5 同理B9 9b5 所以 故选 D 因为数列
7、 an 和 bn 为等差数列 所以A9 9a5 B9 9b5 将转化为即可 本题考查了等差数列的前n项和 等差数列的通项与前n项和的关系 属于基础题 3 答案 B 解析 解 设此数列为 an 由题意可知为等差数列 公差为d 则S7 28 a2 a5 a8 15 则 7a1 21d 28 3a1 12d 15 解得a1 1 d 1 a10 1 9 1 10 故选 B 设此数列为 an 由题意可知为等差数列 公差为d 利用等差数列的前n项和公式和 通项公式列出方程组 求出首项和公差 由此能求出结果 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 4 答案 C
8、 6 解析 解 由题意作实数x y满足约束条件平面区域如下 化z 3x y为y 3x z 从而可得当过点 3 1 时 有最小值 故z 3x y的最小值为 3 3 1 8 故选 C 由题意作平面区域 化z 3x y为y 3x z 从而结合图象求最小值 本题考查了学生的作图能力及线性规划 同时考查了数形结合的思想应用 5 答案 C 解析 解 不等式 ax 2 3 可化为 3 ax 2 3 即 1 ax 5 当a 0 时 解不等式得 x 由不等式的解集为 得a 3 当a 0 时 不等式的解集为R 不满足题意 当a 0 时 解不等式得 x 不满足题意 综上知 a 3 故选 C 去掉绝对值 不等式化为
9、1 ax 5 讨论a 0 和a 0 与a 0 时 解不等式求得a的 值 本题考查了含有绝对值的不等式解法问题 是基础题 6 答案 B 解析 解 等比数列 an 中 a2 a14是方程x 2 5 x 6 0 的两个根 a2 a14 5 a2 a14 6 解得a2和a14中 一个等于2 另一个等于3 故有a2 a14 6 a8 再根据a8 a2 q 6 0 a8 故选 B 由题意利用一元二次方程根与系数的关系 等比数列的性质 求得a8的值 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系 等比数列的性质 属于基础题 7 答案 A 7 解析 解 令f x x 2 2 ax 1 方程x 2 2 ax 1 0 的
10、两根分别在 0 1 与 1 3 内 1 a a的取值范围为 1 故选 A 令f x x 2 2 ax 1 根据条件可得 然后解出a的范围 本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系 考查了数形结合思想和函数思想 属 基础题 8 答案 A 解析 解 先根据约束条件画出可行域 当直线z 2a 4b过点A 时 z最小是 7 当直线z 2a 4b过点B 时 z最大是 5 故选 A 先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域 再利用几何意义求最值 z 2a 4b表示直 线在纵轴上的截距 只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可 本题主要考查了简单的线性规划 以及利用几何意义求最值 属于基础题 9 答
11、案 A 解析 解 数列 an 的前n项和为Sn 若a1 1 an 1 3Sn n 1 当n 2 时 得an 1 an 3an 所以 所以数列 an 是以 3为首项 4 为公比的等比数列 所以 所以 故选 A 直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式 进一步求出结果 本题考查的知识要点 数列的通项公式的求法及应用 主要考查学生的运算能力和转换 能力及思维能力 属于基础题型 10 答案 B 解析 解 数列 an 满足a1 1 对任意n N 都有an 1 an n 1 即有n 2时 an an 1 n 可得an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 2 3 n n n 1 2 则
12、 2 1 2 1 8 故选 B 由题意可得n 2 时 an an 1 n 再由数列的恒等式 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 运用等差数列的求和公式 可得an 求得 2 由数列的裂项相消求和 化简计算 可得所求和 本题考查数列的恒等式的运用 等差数列的求和公式 以及数列的裂项相消求和 考查 化简运算能力 属于中档题 11 答案 A 解析 解 a1 a3 a13成等比数列 a1 1 a3 2 a 1a13 1 2d 2 1 12d d 0 解得d 2 an 1 2 n 1 2n 1 Sn n 2 n 2 n 1 2 2 2 4 当且仅当n 1 时取等号 此时n 2 且取到最小值
13、4 故选 A a1 a3 a13成等比数列 a1 1 可得 a3 2 a 1a13 即 1 2d 2 1 12d d 0 解得d 可 得an Sn 代入利用分离常数法化简后 利用基本不等式求出式子的最小值 本题考查了等差数列的通项公式 前n项和公式 等比中项的性质 基本不等式求最值 解题的关键是利用分离常数法化简式子 凑出积为定值 12 答案 C 解析 解 当n为奇数时 an a bn 2 且当n增加时 bn减少 bn min 2 an bn对任意n N 恒成立 a 2 即a 2 当n为偶数时 an a bn 2 且当n增加时 bn增加 bn min 2 an bn对任意n N 恒成立 a 综
14、上可得 2 a 故选 C 分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围 再综合到一起即可 本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用 以及数列与不等式的综合 属于基础题目 13 答案 解析 解 由得 或 解得 原不等式的解集为 故答案为 9 可将不等式转化为不等式组为或 解不等式组即可 本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法 考查了计算能力 属于基础题 14 答案 570 解析 解 数列 an 中 a1 60 且an 1 an 3 则an 1 an 3 常数 故数列 an 是以首项为a1 60 公差为3 的等差数列 所以an 60 3 n 1 3n 63 当n 21 时 a21 0 当 0
15、 n 21 an an 则Sn a1 a2 an a1 a2 a3 an 当n 22 时 an an 则Sn a1 a2 an a1 a2 a21 a22 an 2 a1 a2 a21 a1 a2 a3 an 630 当n 40 时 630 60 570 故答案为 570 首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式 进一步求出结果 本题考查的知识要点 数列的通项公式的求法及应用 分类讨论思想的应用 数列的求 和的应用 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力 属于基础题型 15 答案 解析 解 当x 2 时 y 单调递增 最小值为x 2 时 y 2 5 故不成立 当x 0 时 当x 1 时
16、成立 当 0 x 2 时 y y 递增 x 2时 取最大值 故有最大值 当x 0 且x 1 时 lgx可能小于0 故不成立 当时 x 0 y 0 而 故利用基本不等式 又x不等于y 故成立 故答案为 分别利用对勾函数y 的单调性和最值 y x 的单调性 基本不等式判断即可 考查了对勾函数y 的性质 y x 的性质 基本不等式的应用 基础题 16 答案 10 解析 解 数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和为Sn满足 整理得 所以 常数 所以数列 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 所以 则 所以 所以 n 1 n 2 128 所以当n 10 时 满足条件 10 故答案为 10 首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 进一步利用对数的运算和裂项相消法 在数列求和中的应用求出结果 本题考查的知识要点 数列的通项公式的求法及应用 对数的计算的应用 裂项相消法 在求和中的应用 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力 属于基础题型 17 答案 解 1 由题意知 解得a 1 b 2 2 由 1 知a 1 b 2 A x 1 x 2 而x 0 时 当且仅当 即时取等号 而 f
