《江苏省2020届高三数学上学期一模联考试题(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2020届高三数学上学期一模联考试题(含解析).pdf（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2020 届高三数学上学期一模联考试题 含解析 一 填空题 本大题共14 小题 每小题5 分 计 70 分 不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上 1 已知集合A 1 2 3 4 B x x 2 4x 0 则 A B 解 1AQ 2 3 4 04 Bxx 1AB I 2 3 故答案为 1 2 3 2 已知复数2i 1 2 i z 则复数z的共轭复数为 解 22 1 22121 1 1 1 i ziiiii iii Q 故 z的共轭复数是 1i 3 某校有教师300 人 男学生1500 人 女学生1200 人 现用分层抽样的办法从全校师生 中抽取 200 人进行某项调查 则应抽取
2、的女学生人数为 解 女学生人数所占的比例为 12002 300150012005 则应抽取的女学生人数为 2 20080 5 故答案为 80 4 根据如图所示的伪代码 可知输出的结果S为 答案 模拟演示 解 1S 1I 3S 4I 7S 7I 15S 10I此时结束循坏输出15S 故答案为 15 5 甲 乙两人依次从标有数字1 2 3 的三张卡片中各抽取一张 不放回 则两人均未抽 到标有数字3 的卡片的概率为 解 甲 乙两人依次从标有数字1 2 3 的三张卡片中各抽取一张 不放回 2 基本事件总数326n 两人均未抽到标有数字3 的卡片包含的基本事件个数2 12m 则两人均未抽到标有数字3 的
3、卡片的概率为 21 63 m p n 故答案为 1 3 6 若抛物线 2 10yx的焦点到双曲线 22 2 1 16 xy a 的一条渐近线的距离是2 则该双曲线的 离心率为 解 抛物线 2 10yx的焦点为 5 0 2 双曲线 22 2 1 16 xy a 的一条渐近线方程为 4 yx a 则 22 5 4 2 2 4a 解得3a 则5c 所以双曲线的离心率 5 3 e 故答案为 5 3 7 已知f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0 时f x x a a为实数 则f 4 的值是 解 f xQ是定义在R上的奇函数 且0 x 时 f xxa 0 0fa 0 x 时 f x x 4 4 42f
4、f 故答案为 2 8 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 等比数列 n b前n项和为 n T 若 9 18S 13 52S 且 55 ba 77 ba 则 4 2 T T 的值为 解 9 18S 则 5 918a 所以 5 2a 即 5 2b 13 52S 则 7 1352a 所以 7 4a 即 7 4b 设等比数列 n b的公比为 2 2q 3 4 1 24 2 12 1 1 13 1 1 bq Tq q bqT q 故答案为 3 9 已知 sin 2 3 f xx 若 2 0 xfy是偶函数 则 解 函数 sin 2 3 f xx 所以函数 sin 22 3 yf xx 由于函数为偶
5、函数 所以2 32 kkZ 解得 212 k kZ 由于 0 2 所以当1k时 5 12 故答案为 5 12 10 已知矩形ABCD中AB 4 BC 3 若沿对角线AC折叠 使得平面DAC 平面BAC 则三 棱锥D ABC的体积是 解 过B作BEAC于E 4ABQ 3BC 5AC 12 5 AB BC BE AC g Q 平面DAC平面BAC 平面DAC平面BACAC BEAC BE平面ABC BE平面DAC 1111224 34 33255 ACD DABCBACD VVSBE 棱锥棱锥 故答案为 24 5 11 已知实数x y满足条件xy 1 4x y且x 1 则 x 1 y 2 的最小值
6、是 解 14xyxyQ 且1x 4 1 1 4 y x y 解得 4y 1 2 2212 3 xyxyxyxy 339 12 12 7 4 44 y yy yy 12 76 27 1 2 xy取最小值为27 故答案为 27 12 若直线04 ayaxl上存在相距为2 的两个动点A B 圆1 22 yxO上存在点 C 使得ABC为等腰直角三角形 C为直角顶点 则实数a的取值范围为 解 根据题意 若ABC为等腰直角三角形 其中C为直角顶点且 2AB 则C到AB的距离为 1 2 AB 若圆 22 1O xy上存在点C 使得ABC为等腰直角三角形 则圆心 O到直线l的距离2d 即有 2 4 2 1 a
7、 a 解可得 33 33 a剟 即 a的取值范围 3 3 3 3 故答案为 3 3 3 3 13 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知点 1 0 A 点P是圆O 22 4xy上的任 意一点 过点 1 0 B作直线BT垂直于AP 垂足为T 则 2PA 3PT的最小值是 5 解 由中线长公式可得 222 1 2 2 POPAPBAB 则 22 10PAPB 222 cos 2 PAPBAB P PA PB 则 3 cosP PA PB 在Rt PBT中 cosPTPBP 即 3 PT PA 所以 9 2322 186 2PAPTPA PA 当且仅当 3 2 2 PA时取等 14 已知函数4 22
8、xmxxhbxxxg 若不等式 01 Rxbxg恒成 立 4 xh为奇函数 函数 txxh txxg xf 恰有两个零点 则实数t的取值范围 为 解 若不等式 1 0 g xbxR 恒成立 即 2 1 0 xbxb 恒成立 则 2 4 1 0bb 解得 2b 故 2 2g xxx 若 4h x为奇函数 则 22 4444mxxmxx 解得 0m 故 4h xx 画出函数 g x h x 的图象 如图所示 6 若函数 g xx t f x h xxt 恰有两个零点 结合图象 2t 0 4 U 故答案为 2 0 4 U 二 解答题 本大题共6 小题 计90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或
9、演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分14 分 已知cba 分别为ABC三个内角A B C的对边 且 3 tan 4 A 1 若 6 5 a 2b 求边c的长 2 若 10 sin 10 AB 求tanB的值 解 1 在ABC中 由 3 tan 4 A可知 0 2 A 由 22 sin3 cos4 sincos1 A A AA 解得 3 sin 5 4 cos 5 A A 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 得 2 22 64 22 2 55 cc 即 2 1664 0 525 cc 7 解得 8 5 c 2 由 0 2 A且 0 B 得 2 AB 又 10 si
10、n0 10 AB 则 0 2 AB 则cos0AB 所以 2 3 10 cos1sin 10 ABAB 所以 sin 1 tan cos 3 AB AB AB 所以 31 tantan 1 43 tantan 3 1 1tantan 3 1 4 3 AAB BAAB AAB 16 本小题满分14 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC A1B与AB1交于点D A1C与AC1交于点E 求 证 1 DE 平面B1BCC1 2 平面A1BC 平面A1ACC 1 证明 1 直三棱柱ABC A1B1C1中 1 AA 1 BB 所以四边形 11 ABB A是平行四边形 且 11 A BAB
11、DEI 所以D为 1 A B中点 同理E为 1 AC中点 所以 DEBC 又因为DE平面 11 B BCC BC平面 11 B BCC 所以 DE 11 B BCC ED B 1 A 1C 1 C B A 8 2 直三棱柱ABC A1B1C1中 1 C C平面ABC 因为BC平面ABC 所以 1 C CBC 因为ACBC 1 ACC CCI 1 ACC C 平面 11 A ACC 所以BC平面 11 A ACC 又因为BC平面 1 A BC 所以平面 1 A BC平面 11 A ACC 17 本小题满分14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C 22 22 10 xy ab ab 的左
12、右顶点分 别为AB 已知4AB 且点 3 5 4 e在椭圆上 其中e是椭圆的离心率 1 求椭圆C的方程 2 设P是椭圆C上异于A B的点 与x轴垂直的直线l分别交直线AP BP于点M N 求证 直线AN与直线BM的斜率之积是定值 解 1 因为 4AB 所以24a 即2a 又点 3 5 4 e在椭圆上 故 2 22 45 1 16 e ab 即 2 2 45 1 1616 c b 又 222 4bca 联立方程组 解得 2 3b 故椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设P点坐标为 s t M N的横坐标均为2 m m 则直线AP的方程为 2 2 t yx s B x y O P A M N l
13、 9 C l B A D 东 北 故 2 2 t M mm s 故直线BM的斜率 1 2 2 2 t m k sm 同理可得直线AN的斜率 2 2 2 2 t m k sm 故 2 12 2 2 2 2 2 2 2 4 t mt mt k k smsms 又因为P点在椭圆上 故有 22 1 43 st 即 223 4 4 ts 因此有 2 12 2 3 44 t k k s 故直线AN与直线BM的斜率之积是定值 18 本小题满分16 分 如图 甲 乙两观察哨所位于海岸线l 一条南北方向的直线 上的点A B处 两观 察哨所相距32 n mile 在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区
14、该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东 53 的方向上 与甲观察哨所相距2 193n mile 暗礁中心与乙观察 哨所的距离大于2 193n mile 1 求暗礁中心点C到海岸线l的距离 2 某时刻 甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走 私船正欲逃窜 甲观察哨所立即派缉私艇进行追击 已知缉私艇的最大航速是走私船最大航 速的 1 倍 假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行 问 无论走私船沿何 方向逃窜 要保证缉私艇总能在暗礁区 不包含暗礁区边界 以外的海域内拦截成功 求 的取值范围 10 解 1 在三角形ABC中 由余弦定理可得 222 2cosACABBCAB
15、BCABC 即 2223 2 197 32232 5 BCBC 整理得 2 519212600BCBC 解得30BC或 42 5 BC 舍去 过点C作CD垂直于l 垂足为D 在直角三角形CDB中 CD BC 4 sin3024 5 ABC 故暗礁中心点C到海岸线l的距离为24n mile 2 由 1 可知14AD 18BD 以点 C为坐标原点 建立如图所示平面直角坐标系 则A 24 14 D 24 0 暗礁区域边界所在的圆的方程为 22 36xy 假设缉私艇在点T x y 处拦截成功 则 AT DT 则点T满足方程 22 22 24 14 24 xy xy 化简得 222 22 1414 24
16、 11 xy 要保证缉私艇总能在暗礁区 不包含暗礁区边界 以外的海域内拦截成功 只需要圆 222 22 1414 24 11 xy 与圆 22 36xy外离 故 22 22 1414 024 0 6 11 整理得 135 2 421840 解得 4 3 或 46 45 舍去 答 1 暗礁中心点C到海岸线l的距离是24n mile 2 当 4 3 时 就能保证无论走私船沿何方向逃窜 缉私艇总能在暗礁区 不包含暗礁 区边界 以外的海域内拦截成功 19 本小题满分16 分 已知函数xxxxf23 23 Rttxxg x e x x 1 求函数 xxfy的单调增区间 2 令 xgxfxh 且函数 xh有三个彼此不相等的零点nm 0 其中 nm 11 若nm 2 1 求函数 xh在mx处的切线方程 若对 nmx txh16 恒成立 求实数t的取值范围 解 1 x exxxxfy 23 2 所以 x exxy 1 2 令0 y得到 2 51 2 51 xx或 所以 xxfy的单调增区间是 2 51 2 51 2 由方程 0h x得 m n是方程 2 3 2 0 xxt的两实根 故3 2mnmnt
