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1、期末备考专项培优训练 二元一次方程组应用 1 在当地农业技术部门指导下 小明家种植的菠萝喜获丰收 去年菠萝的收入结余12000 元 今年菠萝的收入比去年增加了20 支出减少10 结余今年预计比去年多11400 元 请计算 1 今年结余23400元 2 若设去年的收入为x 元 支出为y 元 则今年的收入为1 2x元 支出为0 9y 元 以上两空用含x y 的代数式表示 3 列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出 解 1 由题意可得 今年结余 12000 11400 23400 元 故答案为 23400 2 由题意可得 今年的收入为 x 1 20 1 2x 元 支出为 y 1 10 0 9y
2、元 故答案为 1 2x 0 9y 3 由题意可得 解得 则 1 2x 1 2 42000 50400 0 9y 0 9 30000 27000 答 小明家今年种植菠萝的收入和支出分别为50400 元 27000 元 2 为了让学生能更加了解温州历史 某校组织七年级师生共480 人参观温州博物馆 学校 向租车公司租赁A B 两种车型接送师生往返 若租用 A 型车 3 辆 B 型车 6 辆 则空余 15 个座 位 若租用A 型车 5 辆 B 型车 4 辆 则 15 人没座位 1 求 A B 两种车型各有多少个座位 2 若 A 型车日租金为350 元 B 型车日租金为400 元 且租车公司最多能提供
3、7辆 B 型车 应怎样租车能使座位恰好坐满且租金最少 并求出最少租金 解 1 设每辆A 型车有 x 个座位 每辆B 型车有 y 个座位 依题意 得 解得 答 每辆 A 型车有 45 个座位 每辆B 型车有 60 个座位 2 设租 m 辆 A 型车 n 辆 B 型车 依题意 得 45m 60n 480 解得 n 8 m m n 为整数 舍去 有两种租车方案 方案1 租 4 辆 A 型车 5 辆 B 型车 方案2 租 8 辆 A 型车 2 辆 B 型车 当租 4 辆 A 型车 5 辆 B 型车时 所需费用为350 4 400 5 3400 元 当租 8 辆 A 型车 2 辆 B 型车时 所需费用为
4、350 8 400 2 3600 元 3400 3600 租 4 辆 A 型车 5 辆 B 型车所需租金最少 最少租金为3400 元 3 九章算术 中有记载 今有甲乙二人持钱不知其数 甲得乙半而钱五十 乙得甲太半而 亦钱五十 问甲 乙持钱各几何 大意是 今有甲 乙两人持钱不知有多少 若甲得到 乙所有钱的 则有 50 钱 若乙得到甲所有钱的 则也有50 钱 问甲 乙各持钱多 少 请解答此问题 解 设甲 乙的持钱数分别为x y 根据题意可得 解得 答 甲 乙的持钱数分别为37 5 25 4 某电视台在黄金时段的2 分钟广告时间内 计划插播长度为 15 秒和 20 秒的两种广告 15 秒广告每播1
5、次收费 0 6 万元 20 秒广告每播1次收费 0 8 万元 若要求每种广告播放都 不少于 1 次 且 2 分钟广告时间恰好全部用完 问 两种广告的播放次数有几种安排方 式 每种安排方式的收益分别为多少万元 解 设播放15 秒的广告x 次 播放20 秒的广告y 次 根据题意得 15x 20y 120 解得 y 6 x y 均为不小于 1 的整数 x 是 4 的整数倍 x 4 y 3 只有 1 种安排方式 即播放15 秒的广告的次数是4 次 播放20 秒 的广告的次数是3 次 播当 x 4 y 3 时 0 6 4 0 8 3 4 8 万元 这种安排方式的收益为4 8 万元 5 由甲 乙两运输队承
6、包运输15000 立方米沙石的任务 要求在 10 天之内 包含10 天 完成 已知两队共有20 辆汽车 甲队每辆车每天能够运输100 立方米的沙石 乙队每辆 车每天能够运输80 立方米的沙石 前3 天两队一共运输了5520 立方米 1 求甲乙两队各有多少辆汽车 2 3天后 甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援 在不影响工期的情况下 甲队最多 可以抽调多少辆汽车走 解 1 设甲队有x 辆汽车 乙队有y 辆汽车 根据题意得 解得 答 甲队有12 辆汽车 乙队有8 辆汽车 2 设甲队最多可以抽调m 辆汽车走 根据题意得 7 100 12 m 80 8 15000 5520 解得 m m 最大的整数是 4
7、 答 甲队最多可以抽调4辆汽车走 6 随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视 某APP 顺势推出了 北美外教 在线授课 系列课程 提供 A 课程 B 课程 两种不同课程供家长选择 已知购买 A 课程 3 课时与 B 课程 5 课时共需付款410 元 购买 A 课程 5 课时与 B 课程 3 课时共需付款470 元 1 请问购买 A 课程 1 课时多少元 购买 B 课程 1 课时多少元 2 根据市场调研 APP 销售 A 课程 1 课时获利25 元 销售 B 课程 1 课时获利 20 元 临近春节 小融计划用不低于3000 元且不超过 3600 元的压岁钱购买两种课程共 60 课时 请
8、问购买 A 课程 多少课时才使得 APP 的获利最高 解 1 设购买 A 课程 1 课时 x 元 购买 B 课程 1 课时 y 元 依题意 得 解得 答 购买 A课程 1 课时 70 元 购买 B 课程 1 课时 40 元 2 设购买 A 课程 a 课时 则购买 B 课程 60 x 课时 依题意 得 解得 20 a 40 设利润为 w w 25a 20 60 a 5a 1200 5 0 w 随着 a 的增大而增大 故当 a 40 时 w 最大 答 购买 A课程 40 课时才使得APP 的获利最高 7 某校组织八年级师生共420 人参观纪念馆 学校联系租车公司提供车辆 该公司现有A B 两种座位
9、数不同的车型 如果租用A 种车 3 辆 B 种车 5辆 则空余15 个座位 如果 租用 A 种车 5 辆 B 种车 3 辆 则有 15 个人没座位 1 求该公司A B 两种车型各有多少个座位 2 若 A 种车型的日租金为260 元辆 B 种车型的日租金为350 元辆 怎样租车能使得 座位恰好坐满且租金最少 最少租金是多少 请直接写出答案 解 1 设公司A B 两种车型各有x 个座位和y 个座位 根据题意得 解得 答 公司A B 两种车型各有45 个座位和60 个座位 2 设公司 A B 两种车型各有a 辆和 b 辆 租金为w 元 根据题意得 w a 2450 45a 60b 420 a a b
10、 为正整数 b 1 a 8 b 4 a 4 当 a 8 时 w 的值最小 即W 20 2450 2430 租该公司A B 两种车型各有8 辆和 1 辆租金最少 最少租金为2430 元 8 李阿姨要为家里添加餐具 分别买了型号不同的大小两种碗 共花了80 元 已知小碗每 只 6 元 大碗每只8 元 问大小碗各买了几只 解 设小碗买了x 只 大碗买了y 只 6x 8y 80 x y 均为正整数 答 小碗4 只 大碗 7 只 或小碗8 只 大碗4 只 或小碗12 只 大碗1 只 9 甲 乙两种糖果 售价分别为20 元 千克和 25 元 千克 根据市场调查发现 将两种糖 果按一定的比例混合后销售 取得
11、了较好的销售效果 现只将糖果售价作如下调整 甲 种糖果的售价上涨 10 乙种糖果的售价下降20 若混合后糖果的售价恰好保持不变 求甲 乙两种糖果的混合比例应为多少 解 设将x 千克甲种糖果和y 千克乙种糖果混合 混合后糖果的售价恰好保持不变 根据题意得 20 x 25y 20 1 10 x 25 1 20 y 整理得 2x 5y x y 5 2 答 甲 乙两种糖果的混合比例应为5 2 10 有黑白两种小球各若干个 且同色小球质量均相等 在如图所示的两次称量的天平恰好 平衡 如果每只砝码质量均为5 克 每只黑球和白球的质量各是多少克 解 设每只黑球和白球的质量分别是x y 克 依题意得 解得 答
12、 每只黑球3 克 白球1 克 11 某文具店 甲种笔记本标价每本8 元 乙种笔记本标价每本5 元 1 两种笔记本各销售了多少 2 所得销售款可能是660 元吗 为什么 解 1 设甲种笔记本销售x 本 乙种笔记本销售y 本 依题意得 解得 答 甲种笔记本销售65 本 乙种笔记本销售35 本 2 所得销售款不可能是660 元 设甲种笔记本销售x 本 乙种笔记本销售 100 x 本 则 8x 100 x 5 660 解得该方程的解不是整数 故销售款不可能是660 元 12 某旅行社组织280名游客外出旅游 计划租乘大巴车和小巴车赴旅游景点 其中大巴车 每辆可乘80 人 小巴车每辆可乘40 人 要求租
13、用的车子不留空位 同时也不能超载 1 请你写出所有的租车方案 2 若大巴车的租金是350 元 天 小巴车的租金是200 元 天 请你设计出费用最少的 租车方案 并算出最少的费用是多少 解 1 设需要租x 辆大巴车 y 辆小巴车 根据题意得 80 x 40y 280 y 7 2x x y 均为整数 当 x 0 时 y 7 当 x 1时 y 5 当 x 2 时 y 3 当 x 3 时 y 1 租车方案有 租 7 辆小巴车 租 1 辆大巴车 5 辆小巴车 租 2 辆大巴车 3 辆小巴车 租 3 辆大巴车 1 辆小巴车 2 方案 所需费用为200 7 1400 元 方案 所 需费用为350 200 5
14、 1350 元 方案 所需费用为350 2 200 3 1300 元 方案 所需费用为350 3 200 1250 元 1250 1300 1350 1400 费用最少的租车方案为 租3 辆大巴车 1辆小巴车 最少的租车费用为1250 元 13 某兴趣小组进行活动 每个男生都头戴蓝色帽子 每个女生都头戴红色帽子 帽子戴 好后 每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2 倍少 1 而每个女生都 看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的 问该兴趣小组男生 女生各有多少人 解 设该兴趣小组男生有x 人 女生有y 人 依题意得 解得 答 该兴趣小组男生有12 人 女生有21 人 14 某汽车
15、制造厂开发一款新式电动汽车 计划一年生产安装 240 辆 由于抽调不出足够的 熟练工来完成新式电动汽车的安装 工厂决定招聘一些新工人 他们经过培训后上岗 也能独立进行电动汽车的安装 生产开始后 调研部门发现 1 名熟练工和2 名新工人每 月可安装 8辆电动汽车 2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 1 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车 2 如果工厂招聘n 0 n 10 名新工人 使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能 完成一年的安装任务 那么工厂有哪几种新工人的招聘方案 解 1 设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车 新工人每月分别安装y 辆电动汽车 根据题意得 解之得
16、答 每名熟练工每月可以安装4 辆电动车 新工人每月分别安装2 辆电动汽车 2 设调熟练工m 人 由题意得 12 4m 2n 240 整理得 n 10 2m 0 n 10 当 m 1 2 3 4 时 n 8 6 4 2 即 调熟练工1 人 新工人8 人 调熟练工2 人 新工人6 人 调熟练工3 人 新工人 4 人 调熟练工 4 人 新工人2 人 15 方法阅读 一般地 二元一次方程的解有无数个 但是有些二元一次方程的正整数解却只有有限个 如二元一次方程2x 3y 15 的正整数解只有和两个 那么 我们如何寻找二元一次方程的正整数解呢 不妨以方程2x 3y 15 为例 首先过程方程各项的特征 发现2x 和 15 分别是偶数和奇 数 可以确定3y 必然是奇数 即 y 是奇数 再运用特值法代入尝试 即将 y 1 3 5 等奇数代入原方程一次求出相应的x 的值 从而获得2x 3y 15 的正整数解 同学们还可以尝试运用列表法来探索二元一次方程的正整数解 理解运用 1 盒子里有若干个大小相同的红球和白球 规定从中摸出一个红球的3 分 摸到一个 白球的 4 分 假设小华摸到x 个红球和y 个白球 共
