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1、 2019 届高三年级第二次模拟考试 数学 满分 160 分 考试时间120 分钟 一 填空题 本大题共14 小题 每小题 5 分 共计70 分 1 已知集合A 1 3 a B 4 5 若 A B 4 则实数a 的值为 2 复数 z 2i 2 i i为虚数单位 的实部为 3 某单位普通职工和行政人员共280 人 为了解他们在 学习强国 APP平台上的学 习情况 现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56 的样本 已知从普通职工中抽取的 人数为 49 则该单位行政人员的人数为 4 从甲 乙 丙 丁这4 名学生中随机选派2 人参加植树活动 则甲 乙两人中恰有 1 人被选中的概率为 5 执行如图所
2、示的伪代码 则输出的S的值为 i 1 S 2 While i0 b 0 的右顶点A 2 0 到渐 近线的距离为2 则 b 的值为 9 在 ABC中 已知C 120 sinB 2sinA 且 ABC的面积为23 则 AB的长为 10 设 P A B C为球 O表面上的四个点 PA PB PC两两垂直 且PA 2m PB 3m PC 4m 则球 O的表面积为 m 2 11 定义在R 上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 2 4 上 f x 2 x 2 x 3 x 4 3 x0 a b c R 的解集为 x 3 x 4 则 c 2 5 a b 的最 小值为 13 在平面直角坐标系xOy
3、 中 已知点A B在圆 x 2 y2 4 上 且 AB 2 2 点 P 3 1 PO PA PB 16 设 AB的中点 M的横坐标为x0 则 x0的所有值为 14 已知集合A x x 2k 1 k N B x x 8k 8 k N 从集合 A中取出m 个不同元素 其和记为S 从集合B中取出n个不同元素 其和记为T 若S T 967 则m 2n的最大值为 二 解答题 本大题共6 小题 共计 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 15 本小题满分14 分 在平面直角坐标系中 设向量a cos sin b sin 6 cos 6 其中 0 2 1 若a b 求 的值 2 若 tan2
4、 1 7 求 a b的值 16 本小题满分14 分 如图 在直三棱柱ABCA1B1C1中 侧面 BCC1B1为正方形 A1B1 B1C1 设 A1C与 AC1交于点 D B1C与 BC1交于点 E 求证 1 DE 平面ABB1A1 2 BC 1 平面 A1B1C 17 本小题满分14 分 图 是一栋新农村别墅 它由上部屋顶和下部主体两部分组成 如图 屋顶由四坡屋 面构成 其中前后两坡屋面ABFE和 CDEF是全等的等腰梯形 左右两坡屋面EAD和 FBC是全 等的三角形 点F 在平面 ABCD和 BC上的射影分别为H M 已知 HM 5 m BC 10 m 梯形 ABFE的面积是 FBC 面积的
5、 2 2 倍 设 FMH 0 b 0 C2与 C1的长轴长之比为2 1 离心率相同 1 求椭圆 C2的标准方程 2 设点 P为椭圆 C2上一点 射线 PO与椭圆 C1依次交于点A B 求证 PA PB 为定值 过点P 作两条斜率分别为k1 k2的直线 l1 l2 且直线l1 l2与椭圆 C1均有且只有一 个公共点 求证 k1 k2为定值 19 本小题满分16 分 已知函数f x 2lnx 1 2x 2 ax a R 1 当a 3 时 求函数f x 的极值 2 设函数f x 在x x0处的切线方程为y g x 若函数y f x g x 是 0 上的单调增函数 求x0的值 3 是否存在一条直线与函
6、数y f x 的图象相切于两个不同的点 并说明理由 20 本小题满分16 分 已知数列 an 的各项均不为零 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 a 2 n 的前 n 项和为 Tn 且 3S 2 n 4Sn Tn 0 n N 1 求a1 a2的值 2 证明 数列 an 是等比数列 3 若 nan nan 1 0 对任意的n N 恒成立 求实数 的所有值 2019 届高三年级第二次模拟考试 十二 数学附加题 满分 40 分 考试时间30 分钟 21 选做题 本题包括A B C三小题 请选定其中两小题 并作答 若多做 则按 作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A
7、选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分10 分 已知m n R 向量 1 1 是矩阵M 1m 2n 的属于特征值3 的一个特征向量 求矩 阵M及另一个特征值 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分10 分 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 x 1 t y t t为参数 椭圆C的 参数方程为 x 2cos y sin 为参数 设直线l与椭圆C交于A B两点 求线段AB的长 C 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分10 分 已知x y z均是正实数 且x 2 4y2 z 2 16 求证 x y z 6 必做题 第22 题 第 23 题 每小题 10 分 共计 20 分 解答时
8、应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 22 本小题满分10 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD 是矩形 PA 平面ABCD AB 1 AP AD 2 1 求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值 2 若点 M N分别在 AB PC上 且 MN 平面 PCD 试确定点M N的位置 23 本小题满分10 分 已知 a1 a2 an n N n 4 均为非负实数 且a1 a2 an 2 证明 1 当n 4 时 a1a2 a2a3 a3a4 a4a1 1 2 对于任意的n N n 4 a1a2 a2a3 an 1an ana1 1 2019 届高三年级第二次模拟考试 南通七市 数学参考答案
9、 1 4 2 2 5 3 35 4 2 3 5 30 6 2 7 2 8 2 9 27 10 29 11 5 12 45 13 1 1 5 14 44 15 1 因为a b 所以 cos cos 6 sin sin 6 0 2 分 所以 cos 2 6 0 4分 因为 0 2 所以 6 2 6 7 6 所以 2 6 2 解得 6 6分 2 因为 0 2 所以 0 2 又 tan2 1 7 0 故 2 2 因为 tan2 sin2 cos2 1 7 所以 cos2 7sin2 0 又 sin 22 cos 22 1 解得 sin2 2 10 cos2 72 10 10分 所以a b cos si
10、n 6 sin cos 6 sin2 6 12 分 sin2 cos 6 cos2 sin 6 2 10 3 2 7 2 10 1 2 6 72 20 14 分 16 1 因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱 所以侧面ACC1A1为平行四边形 又 A1C与 AC1交于点 D 所以 D为 AC1的中点 同理 E为 BC1的中点 所以DE AB 3 分 又 AB 平面 ABB1A1 DE 平面 ABB1A1 所以 DE 平面 ABB1A1 6 分 2 因为三棱柱ABCA 1B1C1为直三棱柱 所以 BB1 平面 A1B1C1 又因为 A1B1 平面 A1B1C1 所以 BB1 A1B1 8 分
11、又 A1B1 B1C1 BB1 B1C1 平面 BCC1B1 BB1 B1C1 B1 所以 A1B1 平面 BCC1B1 10分 又因为 BC1 平面 BCC1B1 所以 A1B1 BC1 12分 又因为侧面BCC1B1为正方形 所以BC1 B1C 又 A1B1 B1C B1 A1B1 B1C 平面 A1B1C 所以 BC1 平面 A1B1C 14 分 17 1 由题意得FH 平面 ABCD FM BC 又因为 HM 平面 ABCD 所以 FH HM 2 分 在Rt FHM中 HM 5 FMH 所以 FM 5 cos 4 分 所以 FBC 的面积为 1 2 10 5 cos 25 cos 所以
12、屋顶面积S 2S FBC 2S梯形 ABFE 2 25 cos 2 25 cos 2 2 160 cos 所以 S关于 的函数关系式为S 160 cos 0 4 6分 2 在Rt FHM中 FH 5tan 所以主体高度为h 6 5tan 8 分 所以别墅总造价为 y S k h 16k 160 cos k 6 5tan 16k 160 cos k 80sin cos k 96k 80k 2 sin cos 96k 10 分 记 f 2 sin cos 0 4 所以 f 2sin 1 cos 2 令 f 0 得sin 1 2 又 0 0 所以 g x f x 0 x x0 f x0 x0 0 记
13、 p x f x g x 则 p x f x f x 0 f x0 x x0 在 0 上为单调增函数 所以 p x f x f x 0 0 在 0 上恒成立 即 p x 2 x 2 x0 x x 0 0 在 0 上恒成立 8分 法一 变形得x 2 x0 x x0 0 在 0 上恒成立 所以 2 x0 x 0 又 x0 0 所以 x0 2 10分 法二 变形得x 2 x x 0 2 x0在 0 上恒成立 因为 x 2 x 2 x 2 x 22 当且仅当x 2时 等号成立 所以 22 x0 2 x0 所以 x0 2 2 0 所以 x0 2 10分 3 假设存在一条直线与函数f x 的图象有两个不同
14、的切点T1 x1 y1 T2 x2 y2 不妨设 0 x1 x2 则点 T1处切线 l1的方程为 y f x1 f x1 x x1 点 T2处切线 l2的方程为 y f x 2 f x2 x x2 因为 l1 l2为同一直线 所以 f x1 f x2 f x1 x1f x1 f x2 x2f x2 12 分 所以 2 x1 x 1 a 2 x2 x 2 a 2lnx1 1 2x 2 1 ax1 x1 2 x1 x 1 a 2lnx2 1 2x 2 2 ax2 x2 2 x2 x 2 a 整理 得 x1x2 2 2lnx1 1 2x 2 1 2lnx2 1 2 x 2 2 14 分 消去 x2
15、得 2ln x 2 1 2 2 x 2 1 x 2 1 2 0 令 t x 2 1 2 由 0 x1 x2与 x1x2 2 得 t 0 1 记 p t 2lnt 1 t t 则 p t 2 t 1 t 2 1 t 1 2 t 2p 1 0 所以 式不可能成立 所以假设不成立 所以不存在一条直线与函数f x 的图象有两个 不同的切点 16 分 20 1 因为 3S 2 n 4Sn Tn 0 n N 令n 1 得 3a 2 1 4a1 a 2 1 0 因为a1 0 所以a1 1 令n 2 得 3 1 a2 2 4 1 a2 1 a 2 2 0 即 2a 2 2 a2 0 因为a2 0 所以a2 1
16、 2 3 分 2 因为 3S 2 n 4Sn Tn 0 所以 3S 2 n 1 4Sn 1 Tn 1 0 得3 Sn 1 Sn an 1 4an 1 a 2 n 1 0 因为an 1 0 所以 3 Sn 1 Sn 4 an 1 0 5 分 所以 3 Sn Sn 1 4 an 0 n 2 当n 2 时 得3 an 1 an an 1 an 0 即an 1 1 2a n 因为an 0 所以 an 1 an 1 2 又由 1 知 a1 1 a2 1 2 所以 a2 a1 1 2 所以数列 an 是以 1 为首项 1 2为公比的等比数列 8分 3 由 2 知 an 1 2 n 1 因为对任意的n N nan nan 1 0 恒成立 所以 的值介于n 1 2 n 1 和n 1 2 n 之间 因为n 1 2 n 1 n 1 2 n 0 当n为奇数时 n 1 2 n n 1 2 n 1 恒成立 从而有 n 2 n 1恒成立 记p n n 2 2 n n 4 因为p n 1 p n n 1 2 2 n 1 n 2 2 n n 2 2n 1 2 n 10不符 13 分 若 0 当n为奇数时 n 1 2
