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1、北京市门头沟区2019 年 3 月高三年级综合练习数学试卷 理 一 选择题 本大题共8 小题 共 40 0 分 1 已知集合 则等于 A B C D 答案 B 解析 解 集合 故选 B 先分别求出集合A B 由此能求出 本题考查交集的求法 考查交集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是基础 题 2 复数 z 满足 那么是 A B C 2 D 答案 A 解析 解 故选 A 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数模的计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数模的求法 是基础题 3 一个体积为正三棱柱的三视图如图所示 则这个三棱柱的左视图的面积为 A B 8 C D 12 答
2、案 A 解析 解 设棱柱的高为h 由左视图知 底面正三角形的高是 由正三角形的性质知 其边长是4 故底面三角形的面积是 由于其体积为 故有 得 由三视图的定义知 侧视图的宽即此三棱柱的高 故侧视图的宽是3 其面积为 故选 A 此几何体是一个正三棱柱 正视图即内侧面 底面正三角形的高是 由正三角形的性质可 以求出其边长 由于本题中体积已知 故可设出棱柱的高 利用体积公式建立起关于高的方 程求高 再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可 本题考点是简单空间图形的三视图 考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利 用体积公式建立方程求参数的能力 三视图的投影规则是 主视 俯视长对正 主视 左 视
3、高平齐 左视 俯视宽相等 4 如图的程序框图 如果输入三个实数a b c 要求输出这三 个数中最大的数 那么在空白的判断框中 应该填入下面四 个选项中的 A B C D 答案 A 解析 解 由流程图可知 第一个选择框作用是比较x 与 b 的大小 故第二个选择框的作用应该是比较x 与 c 的大小 条件成立时 保存最大值的变量 故选 A 根据流程图所示的顺序 逐框分析程序中各变量 各语句的作用 由于该题的目的是选择最 大数 因此根据第一个选择框作用是比较x 与 b 的大小 故第二个选择框的作用应该是比较x 与 c 的大小 而且条件成立时 保存最大值的变量 本题主要考察了程序框图和算法 是一种常见的
4、题型 属于基础题 5 已知向量 满足 且其夹角为 则 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 解 且其夹角为 由得 又 即 是的充分条件 由得 是的必要条件 综上得 是 的充分必要条件 故选 C 根据条件 由即可得出 进而得出 又知 从而 可得出 这便得出 是 的充分条件 反过来 由 即 可 得 出 进 而 得 出 从 而 得 出 是 必要条件 这样即得出 是 的充要条件 考查向量数量积的运算及计算公式 向量夹角的概念及范围 余弦函数的图象 充分条件 必要条件及充要条件的概念 6 如图 在下列四个正方体中 A B为正方体的两个顶点
5、 M N Q为所在棱的中点 则 在这四个正方体中 直线AB与平面 MNQ 不垂直的是 A B C D 答案 D 解析 解 对于A AB为体对角线 MN MQ NQ分别为棱的中点 由中位线定理可得它们 平行于面对角线 连接另一条面对角线 由三垂线定理可得AB垂直于 MN MQ NQ 可得 AB垂直于平面MNQ 对于 B AB为上底面的对角线 显然AB垂直于 MN 与 AB相对的下底面的面对角线平行 且 与直线 NQ 垂直 可得AB垂直于平面MNQ 对于 C AB为前面的面对角线 显然AB垂直于 MN QN在下底面且与棱平行 此棱垂直于AB所在的面 即有AB垂直于 QN 可得 AB垂直于平面MNQ
6、 对于 D AB为上底面的对角线 MN 平行于前面的一条对角线 此对角线与AB所成角为 则 AB不垂直于平面MNQ 故选 D 由中位线定理和异面直线所成角 以及线面垂直的判定定理 即可得到正确结论 本题考查空间线面垂直的判定定理 考查空间线线的位置关系 以及空间想象能力和推理能 力 属于基础题 7 某学需要从3 名男生和2 名女生中选出4 人 到甲 乙 丙三个社区参加活动 其中甲 社区需要选派2 人 且至少有1 名是女生 乙社区和丙社区各需要选派1 人 则不同的选 派方法的种数是 A 18 B 24 C 36 D 42 答案 D 解析 解 根据题意 甲地需要选派2 人且至少有1 名女生 若甲地
7、分派2 名女生 有种情况 若甲地分配1 名女生 有种情况 则甲地的分派方法有种 甲地安排好后 在剩余3 人中 任选2 人 安排在乙 丙两地 有种安排方法 则不同的选派方法的种数是 故选 D 根据题意 先分析甲地的安排方法 分 分派2 名女生 和 分派1 名女生 两种情况讨论 由加法原理可得甲地的分派方法数目 第二步在剩余3 人中 任选2 人 安排在乙 丙两地 由排列数公式可得其安排方法数目 由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列 组合的实际应用 注意先分析受到限制的元素 如本题的甲地 8 若函数图象上存在两个点A B关于原点对称 则点对称为函数的 友好点 对 且点对与可看作同一个 友好点对
8、若函数 其中 e 为自然对数的底数 恰好有两个 友好 点对 则实数m的取值范围为 A B C D 答案 C 解析 解 当时 关于原 点对称的函数为 即 设 条件等价为当时 与的图象恰好有两个 不同的交点 则 当时 函数取得最大值 当时 由得 此时为增函数 由得 此时为减函数 即当时 函数取得极小值同时也是最小值 作出当时 与的图象如图 要使两个图象恰好有两个不同的交点 则 即 即 即 故选 C 求出当时关于原点对称的函数 条件转化为当时 与的图象恰好有 两个不同的交点 求函数的导数研究函数的单调性和最值 利用数形结合建立不等式关系进 行求解即可 本题主要考查函数与方程的应用 以及分段函数的图象
9、 利用定义作出关于原点对称的函数 利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强 有一定的难度考查学生的作图 能力 二 填空题 本大题共6 小题 共 30 0 分 9 若 x y 满足条件 则的最大值为 答案 2 解析 解 由x y 满足条件作出可行 域如图 由 得 由图可知 当直线过可行域内点A 时直线 在 y 轴上的截距最大 z 最大 联立 解得 目标函数的最大值为 故答案为 2 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 可知当直线在y 轴上的 截距最小时z 最大 结合图象找出满足条件的点 联立直线方程求出点的坐标 代入目标函 数可求 z 的最大值 本题考查了简单的线性规划
10、 考查了数形结合的解题思想方法 关键是正确作出可行域 是 中档题 10 双曲线 C 的渐近线方程是 答案 解析 解 双曲线的标准方程为 可得 又双曲线的渐近线方程是 双曲线的渐近线方程是 故答案为 将双曲线化成标准方程 得到 a b 的值 再由双曲线的渐近线方程是 即 可得到所求渐近线方程 本题给出双曲线方程 求双曲线的渐近线方程 着重考查了双曲线的简单几何性质 属于基 础题 11 等比数列中 则数列的通项公式 答案 解析 解 设等比数列的公比为q 解得 数列的通项公式 故答案为 设等比数列的公比为 q 由 可得 解出 即可得出 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式 考查了推理能力与计算能力
11、 属于中档题 12 已知直线l 的参数方程为为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 C的极坐标方程为 若直 线 l 与曲线 C相交于两点A B 则 答案 8 解析 解 由消去 t 可得 其参数方程的标准形式为 为 参数 由得 得 联立得 设 A B对应的参数为 则 所以 利用直线参数方程中参数t 的几何意义可得 本题考查了简单曲线的极坐标方程 属中档题 13 已知 x 求的最值 甲 乙两位同学分别给出了两种不同的解法 甲 乙 你认为甲 乙两人解法正确的是 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题 使甲 乙的解法都正确 答案 甲 解析 解 甲正确 乙解法中两次不等
12、式中取等的条件不相同 已知 x 求的最小值 甲 乙 故填甲 乙解法中两次不等式取等条件不同 故乙错误 本题考查了基本不等式及其应用 属中档题 14 一半径为4m的水轮 水轮圆心O距离水面 2m 已知水轮每分钟转动按逆时针方向圈 当水轮上点P从水中浮现时开始计时 即从图中点开始计算时间 当秒时点 P离水面的高度 将点 P距离水面的高度单位 表示为时间单位 的函数 则此函数表达式为 答案 解 析 解 秒 时 水 轮 转 过 角 度 为 在中 在 中 此时点离开水面的高度为 由题意可知 设角是以 Ox为始边 为终边的角 由条件得 其中 将 代入 得 所求函数的解析式为 故答案为 根据题意 利用直角三
13、角形的边角关系 即可求出5 秒后点 P离开水面的距离 由题意求出的值 然后结合时求出的值 求得函数的解析式 本题考查了函数的图象与应用问题 理解函数解析式中参数的物理意义 是 解题的关键 三 解答题 本大题共6 小题 共 80 0 分 15 在中 且满足已知 求的大小 若的面积为 求的周长 答案 解 中 由正弦定理可得 整理可得 又 A为三角形内角 所以 由 B为三角形内角 可得 由的面积为 即 所以 又 由余弦定理得 所以 的周长为 解析 根据题意利用正弦定理 再进行三角恒等变换求得的值 从而求出B的值 由的面积公式 利用余弦定理求得b 的值 再求的周长 本题考查了三角形的正弦 余弦定理和面
14、积公式应用问题 也考查了三角函数的恒等变换 以及化简运算能力 是中档题 16 在某区 创文明城区 简称 创城 活动中 教委对本区A B C D四所高中校按各 校人数分层抽样调查 将调查情况进行整理后制成如表 学校ABCD 抽查人数50151025 创城 活动中参 与的人数 4010915 注 参与率是指 一所学校 创城 活动中参与的人数与被抽查人数的比值 假设每名高中学生是否参与 创城 活动是相互独立的 若该区共2000 名高中学生 估计A学校参与 创城 活动的人数 在随机抽查的100 名高中学生中 从A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1 名 学生 求恰有1 人参与 创城 活动的概率 若将
15、表中的参与率视为概率 从 A学校高中学生中随机抽取3 人 求这 3人参与 创 城 活动人数的分布列及数学期望 答案 解 该区共 2000 名高中学生 由分层抽样性质估计A学校参与 创城 活动的人数为 设事件 A表示 抽取A校高中学生 且这名学生参与创城活动 事件 C表示 抽取C校高中学生 且这名学生参与创城活动 则从 A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1 名学生 恰有 1 人参与 创城 活动的概率 将表中的参与率视为概率 从A学校高中学生中随机抽取3 人 这 3 人参与 创城 活动人数 的分布列为 X0123 P 解析 由分层抽样性质估计A学校参与 创城 活动的人数 设事件 A表示 抽取A
16、校高中学生 且这名学生参与创城活动 事件 C表示 抽取 C 校高中学生 且这名学生参与创城活动 则从A C两学校抽出的高中学生中各随机 抽取 1 名学生 恰有 1 人参与 创城 活动的概率 由此能求出结果 将表中的参与率视为概率 从 A学校高中学生中随机抽取3人 这 3 人参与 创城 活动 人数 由此能求出这3 人参与 创城 活动人数的分布列及数学期望 本题考查频数 概率 离散型随机变量的分布列 数学期望的求法 考查二项分布 相互独 立事件概率乘法公式 分层抽样的性质等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 17 在四棱锥中 底面 ABCD是边长为6 的菱形 且 平面 ABCD F 是棱 PA上的 一个动点 E为 PD的中点 求证 若 求 PC与平面 BDF所成角的正弦值 侧面 PAD内是否存在过点E的一条直线 使得该直线上任一点M与 C的连线 都满足 平而 BDF 若存在 求出此直线被直线PA PD所截线段的长度 若不存在 请明理 由 答案 证明 平面 ABCD 平面 ABCD 四边形 ABCD是菱形 又 平面 PAC 平面 PAC 平面 PAC 又平面 PAC 解 设 AC BD交于
