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1、第2章拉普拉斯变换 2 1拉普拉斯变换2 2拉普拉斯变换的基本性质2 3拉普拉斯逆变换2 4拉普拉斯变换的应用 2 1拉普拉斯变换 2 1 1拉普拉斯变换的概念 定义1设函数当有定义 而且积分 是一个复参量 在所确定的某一域内收敛 则由此积分所确定的函数可写为 我们称上式为函数的拉普拉斯变换式 记做 叫做 的拉氏变换 象函数 叫做 的拉氏逆变换 象原函数 2 1 2拉普拉斯变换存在定理 若函数满足下列条件 在的任一有限区间上连续或分段连续 当的增长速度不超过某一指数函数 亦即存在常数及 使得 成立 则函数的拉氏变换 在半平面上一定存在 此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛 并且在此半平面内为解析
2、函数 例1求单位阶跃函数的拉氏变换 解 例2求函数的拉氏变换 解 例3求单位斜坡函数的拉氏变换 解 例4求幂函数的拉氏变换 解 当为正整数时 例5求正弦函数的拉氏变换 解 则 所以 是周期为 当在一个周期上连续或分段连续时 则有 2 1 3周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数 即 可以证明 若 2 2拉普拉斯变换的性质 2 2 1线性性质 设 常数则 2 2 2相似性质 若 则 2 2 3平移性质 1 象原函数的平移性质 若 为非负实数 则 例6求函数 的拉氏变换 解 因为 所以 2 象函数的平移性质 若 为实常数 则 例7求 为正整数 解 因为 所以 则 2 2 4
3、微分性质 1 象原函数的微分性质 一般地 若 特别地 当 时 2 象函数的微分性质 若 则 从而 例8求 解因为 所以 同理 若 则 1 象原函数的积分性质 一般地 2 2 5积分性质 且积分收敛 若 则 2 象函数的积分性质 一般地 或 推论 若 且积分收敛 则 例9求 解 因为 所以 顺便可得 2 3拉普拉斯逆变换 定义2 1若 则积分 称为的拉普拉斯逆变换 它是一个复变函数的积分 但计算比较麻烦 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法 部分分式法 查表法等 我们简单介绍留数法和查表法 2 3 1利用留数定理求拉氏逆变换 定理若是函数的所有奇点 适当选取使这些奇点全在的范围内 且当时 则有 即
4、 若函数是有理函数 其中是不可约的多项式 的次数小于的次数 此时定理1的条件成立 从而有 情况一 若有n个单零点 即这些点都是的单极点 根据留数的计算方法 有 情况二 若是的一个级极点 是的单零点 即是的级极点 是它的单极点 根据留数的计算方法 有 例10利用留数方法求的逆变换 解 这里 它有两个单零点 故 2 3 2利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的拉氏变换 更多的拉氏变换见书后附表 拉氏逆变换的性质 例11已知 求 解 所以 例12已知 求 解 所以 例13已知 求 解 所以 例14已知 求 解 所以 2 4拉氏变换的卷积与卷积定理 2 4 1上的卷积定义 若函数 满
5、足时都为零 则 称为函数 在上的卷积 例15 对函数 计算上的卷积 解 2 4 2拉氏变换的卷积定理 若满足Laplace变换存在定理中的条件 且 则的Laplace变换一定存在 且 或 例16若 求 解 因为 故 2 5拉普拉斯变换的应用 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程 或方程组 的初值问题 其基本步骤如下 1 根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质 对微分方程 或方程组 两端取拉普拉斯变换 把微分方程化为象函数的代数方程 2 从象函数的代数方程中解出象函数 3 对象函数求拉普拉斯逆变换 求得微分方程 或方程组 的解 例17求微分方程 满足初始条件 的解 解设 对方程两边取拉氏变换 并考虑到初始条件 则有 解得 所以
