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1、宁波市 2019 学年第一学期期末九校联考高二数学试题 选择题部分 共 40 分 一 选择题 本大题共10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每个题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的 1 抛物线 2 4yx的焦点坐标是 A 1 0B 0 1C 1 0 16 D 1 0 16 答案 D 解析 分析 将抛物线化简成标准形式再分析即可 详解 2 4yx即 2 1 4 xy 故抛物线焦点在 y轴上 11 2 48 pp 焦点纵坐标为 1 216 p 故焦点坐标为 1 0 16 故选 D 点睛 本题主要考查了抛物线的焦点坐标 需要将抛物线化成标准形式再判断 属于基础题 2 若复数 z 满足1
2、 234i zi 则 z 的虚部为 A 2iB 2iC 2 D 2 答案 C 解析 分析 先计算出345i 再整理得 5 12 z i 即可得解 详解 Q 22 34345i即125i z 2 5 125 12 1214 i zi ii 故选 C 点睛 本题考查了复数的概念 复数的四则运算以及复数模的概念 属于基础题 3 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则lB 若 l m 则 lm C 若 lm m 则 lD 若l m 则 lm 答案 D 解析 分析 在A中 l与相交 平行或l 在B中 l与m相交 平行或异面 在C中 l或l 在D 中 由线面垂直的性质
3、定理得 lm 详解 由l m是两条不同的直线 是一个平面 知 在A中 若lm m 则l与相交 平行或l 故A错误 在B中 若 l m 则l与m相交 平行或异面 故B错误 在C中 若 lm m 则 l或l 故C错误 在D中 若l m 则由线面垂直的性质定理得 lm 故D正确 故选D 点睛 本题考查命题真假的判断 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求 解能力 考查函数与方程思想 是中档题 4 设1 1 2OA uuu r 3 2 8OB u uu r 0 1 0OC u uu r 则线段 AB的中点P到点C的距离为 A 53 2 B 13 2 C 53 4 D 53 4 答
4、案 A 解析 分析 根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可 详解 由1 1 2OA uu u r 3 2 8OB uu u r 可知 AB的中点 13 12283 2 3 2222 PP 故P到点C的距离为 2 22 3153 2 1349 242 故选 A 点睛 本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式 属于基础题 5 已知 A B C D是空间四个不同的点 则 AC与BD是异面直线 是 AD与BC是异面直线 的 A 充分不必要条件B 充要条件 C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 分析 根据异面直线的性质判定即可 详解 由题 当AC与BD是异面直线时
5、A B C D四点不共面 故定有AD与BC是异面直线 反之 亦然 故 AC与BD是异面直线 是 AD与BC是异面直线 的充要条件 故选 B 点睛 本题主要考虑从了空间异面直线的性质与判定 属于基础题 6 以下关于圆锥曲线的命题中 双曲线 22 1 169 xy 与椭圆 22 1 4924 xy 有相同焦点 以抛物线的焦点弦 过焦点的直线截抛物线所得的线段 为直径的圆与抛物线的准线是相切的 设A B为两个定点 k为常数 若PAPBk 则动点P的轨迹为双曲线 过抛物线 2 4yx的焦点作直线与抛物线相交于 A B 则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有 两条 以上命题正确的个数为 A 1 B
6、 2 C 3 D 4 答案 C 解析 分析 直接求解双曲线与椭圆的焦点再判断即可 利用焦半径公式分析即可 举出反例判定即可 设过焦点的直线方程联立抛物线分析即可 详解 对 双曲线 22 1 169 xy 的焦点为16 9 05 0 椭圆 22 1 4924 xy 的焦点为 4924 05 0 故 正确 对 不妨设以抛物线 2 20ypx p 的焦点弦端点为 1122 A x yB xy 则以焦点弦为直径的圆的圆 心 1212 22 xxyy P 又圆的直径 12 ABxxp 圆心到准线的距离 12 1 222 xxp dAB 故以 抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线是相切的 同理对任意开口
7、的抛物线均成立 故 正确 对 当0k时易得PAPB 故P的轨迹为线段 AB的中垂线 对 设过抛物线 2 4yx的焦点作直线 1xty 则 2 2 1 440 4 xty yty yx 设 1122 A x yB xy 则横坐标之和 2 1212 3 2425 2 xxt yytt 故使它们的横坐标之和等于5 的直线有且只有两条 故 正确 错误 故选 C 点睛 本题主要考查了圆锥曲线中的定义与焦点弦性质运用 属于中档题 7 已知双曲线 22 22 1 00 xy Cab ab 的左 右焦点分别为1 F 2 F 过 2 F作平行于C的渐近线的直 线交C于点 P 若 12 PFPF 则C的离心率为
8、A 2 B 3 C 2 D 5 答案 D 解析 试题分析 取双曲线的渐近线为 因为 所以过 2 F作平行于渐近线的直线的方程为 因为 12 PFPF 所以直线的方程为 联立方程组可得点的坐标为 因为点在双曲线上 所以 即 因为 所以 整理得 因为 所以 故选 D 考点 双曲线的性质 8 如图 正四棱锥PABCD的各棱长均相等 M 是AB上的动点 不包括端点 N是AD的中点 分 别记二面角PMNC PABC PMDC的平面角为 则 A B C D 答案 D 解析 分析 连对角线得底面的中心O 则PO垂直底面 由三垂线定理作出面面所成角 并分别表示其正切值 分子相同 易知 tan的分母最大 可知最
9、小 详解 连接 AC BD交于O 令 ACMNE 作 OF 垂直DM于F 连接 PE PF 易知 PEOPMOPFO 所以tan tan tan OPOPOP OEOMOF 显然 OMOE OMOF tan最小 最小 故选 D 点睛 本题主要考查了二面角大小的判定 需要根据题意作出对应的角度再求正切的关系分析即可 属于 中档题 9 设椭圆 22 22 1 xy E ab 0ab 的一个焦点 2 0 F点 2 1 A为椭圆E内一点 若椭圆E上存在一 点P 使得 8PAPF 则椭圆 E的离心率的取值范围是 A 4 4 9 7 B 4 4 9 7 C 2 2 9 7 D 2 2 9 7 答案 A 解
10、析 详解 记椭圆的左焦点为 12 0F 则 111 1 AFPFPAAFQ 11 21 89aPFPFPAAFPF 即 9 2 a 11 PFPAAFQ 11 2817aPFPFPAAFPF 即 722 2 97 2 22 c ace a Q 即 44 97 e 椭圆E的离心率的取值范围是 4 4 9 7 故选 A 方法点晴 本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率 属于难题 求解与双曲线性质有关的问题时 要结合图形进行分析 既使不画出图形 思考时也要联想到图形 当涉及顶点 焦点 实轴 虚轴 渐近 线等双曲线的基本量时 要理清它们之间的关系 挖掘出它们之间的内在联系 求离心率范围问题应先将
11、e 用有关的一些量表示出来 再利用其中的一些关系构造出关于 e的不等式 从而求出e的范围 本题是利用 椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于 e的不等式 最后解出e的范围 10 已知抛物线 2 4yx 过点1 2A作直线交抛物线于另一点B Q是线段AB的中点 过点Q作与 y轴 垂直的直线 1 l 交抛物线于点C 若点P满足QCCP u uu ruuu r 则OP的最小值是 A 1 2 B 2 2 C 1 D 2 答案 B 解析 分析 设 2 4 b Bb 再分别表示 Q C P的坐标 进而表示出OP再根据解析式求最小值即可 详解 设 2 4 b Bb 因为1 2A Q是线段 AB的中
12、点所以 2 22 82 bb 故直线 1 l 的方程 2 2 b y 代入 2 4yx则 2 22 162 bb C 又QCCP uu u ruu u r 所以C是PQ的中点 可得 2 22 b b P 故 22 2 211 1 2222 bb bOP 故当1b时 OP取最小值 2 2 故选 B 点睛 本题主要考查了抛物线上的点表达相应的量求最值的问题 需要根据题意设点 找出目标函数对应 的解析式 再利用函数的最值求解 属于中档题 非选择题部分 共110 分 二 填空题 本大题共7 小题 多空题每题6 分 单空题每题 4 分 共 36分 11 设复数 1 3 2 zai 2 3 2 zai 其
13、中i是虚数单位 若 2 1 z z 为纯虚数 则实数a 答案 3 2 解析 分析 由题 设 2 1 z bi bR z 再化简求解即可 详解 设 2 1 z bi bR z 则 333 222 aiaibibabi 故 3 2 3 2 ab ab 3 2 a 故答案为 3 2 点睛 本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题 属于基础题 12 已知圆 C 22 x3 y48和点B 3 0 P是圆上一点 线段BP的垂直平分线交CP于 M点 则 M 点的轨迹方程为 若直线 l 与 M点的轨迹相交 且相交弦的中点为P 2 1 则直线 l 的方程是 答案 1 22 1 123 xy 2 240 xy 解析
14、 分析 根据线段中垂线的性质可得 MBMP 又MPMC半径 故有MCMB4 3AC 根 据椭圆的定义判断轨迹椭圆 求出 a b值 即得椭圆的标准方程 设出直线与椭圆的两个交点 A B的坐标及 AB的中点的坐标 利用点差法结合直线斜率 然后得到直线方程 详解 由圆的方程可知 圆心C3 0 半径等于 4 3 设点 M的坐标为 x y BPQ 的垂直平分线交CQ于点 M MBMP 又MPMC半径 4 3 MCMB4 3BC 依据椭圆的定义可得 点 M的轨 迹是以 B C为焦点的椭圆 且 2a4 3 c3 b3 故椭圆方程为 22 xy 1 123 设直线 l 交椭圆与 11 A x y 22 B x
15、 y两点 AB的中点为 00 x y 0 x4 0 y2 则 22 11 xy 1 123 22 22 xy 1 123 作差得 12121212 xxxxyyyy 123 012 120 3xyy1 xx12y2 直线 l 的方程是 1 y1x2 2 即 x2y40 故答案为 22 xy 1 123 x 2y40 点睛 本题主要考查了椭圆的定义 椭圆的标准方程及其简单的几何性质 得出MCMB4 3BC 是解题的关键和难 同时着重考查了点差法的应用 以及推理与运算能力 13 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 俯视图为正三角形 则该几何体的体积 单位 3 cm 是 该几何体的表面积 单位 2
16、 cm 是 答案 1 8 3 2 8 324 解析 分析 易得该几何体是以底面边长为4的正三角形 高为 2 的直三棱柱 再求表面积即可 详解 由图可知该几何体是以底面边长为4 的正三角形 高为 2 的直三棱柱 底面积为 1 44 sin4 3 23 故体积为 24 38 3 侧面积为 234 24 故表面积为 242438 324 故答案为 1 8 3 2 8 324 点睛 本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积与体积 属于基础题 14 在正四面体ABCD中 M N分别为棱BC AB的中点 设 ABa uuu rr ACb u uu rr ADc uuu rr 用 a r b r c r 表示向量 DM uuuu r 异面直线 DM与CN 所成角的余弦值为 答案 1 1 2 2 abc rrr 2 1 6 解析 分析 1 画图利用空间向量的加减法运算求解即可 2 将 CN uu u r 用 a r b r c r 表示 再用空间向量的夹角公式求解即可 详解 画出对应的正四面体 设棱长均为1 则 1 11 2 22 DMDAAMcababc uuuu ruu u ruuuu rrrrr
