中考数学专项：线段角的计算证明问题

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1、中考数学专项：线段角的计算证明问题以下是查字典数学网为您推荐的 中考数学专题：线段角的计算证明问题，希望本篇文章对您学习有所帮助。中考数学专题：线段角的计算证明问题【例1】 如图，梯形 中， ， .求 的长.【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,的是AD,BC以及BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,那么很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量条件的直角三角形当中.于是有解如下.【

2、解析】作 于 于四边形 是矩形.是 的 边上的中线.在 中，【例2】：如图，在直角梯形 中， ， ， 于点O， ，求 的长.【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是的.于是问题迎刃而解.【解析】过点 作 交 的延长线于点 . 于点 ,四边形 为平行四边形.此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证

3、明ACD和 DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例3】如图，在梯形 中， ， ， ， 为 中点， .求 的长度【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?【答案】就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三

4、角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.【解析】过点 作 的垂线交于 点 ，交 的延长线于点 .在梯形 中， ， 是 的中点，在 中， ，在 中，【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:1、 过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形2、 平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形3、 延长梯形两腰交于一点构造三角形4、 平移对角线，转化为平行四边形+三角形5、 连接顶点与中点延长线交于另一底延长

5、线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】 如图，在梯形 中， ， 平分 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，且 ， ， ，求 的长.【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行

6、线这一条件，可以得出(见以下图)角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。【解析】：梯形 是等腰梯形【例5】： ， ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当APB=45时，求AB及PD的长;【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将APB分成两个有很多量的RT。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PA

7、D是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一来，得到了PFA AGE等多个RT。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。【解析】：如图，作AEPB于点E.在RtABE中，AEB=90，如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G.在RtAEG中，可得(这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系)在RtPFG中，可得 ， .【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将角度通过平行，垂直等关系过度

8、给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系(例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系)以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。第二部分 发散思考通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看【答案】。【思考1】如图，在梯形ABCD中，ADBC， .假设ACBD，AD+BC= ， 且 ， 求CD的长.【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平

9、移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出【答案】。解法见后文【思考2】如图，梯形ABCD中，AD/BC，B=30，C=60，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，BC=7，MN=3，求EF【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。假设求EF，因为BC，所以只需求出AD即可。由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。(解法见后)【思考3】 ，延长 到 ，使 .取 的中点 ，连结 交 于点 . 求 的值; 假

10、设 ， ，求 的长.【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。(解法见后)【思考4】如图3，ABC中，A=90，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DEDF，假设BE=3，CF=4，试求EF的长.【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。此题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。(解法见后

11、)【思考5】 如图，在四边形 中， 为 上一点， 和 都是等边三角形， 、 、 、 的中点分别为 、 、 、 ，试判断四边形 为怎样的四边形，并证明你的结论.【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。此题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。(解法见后)第三部分 思考题【答案】思考1【解析】：作DEBC于E，过D作DFAC交BC延长线于F.那么四边形ADFC是平行四边形， ，DF=AC.四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD.又ACBD，DFAC，BDDF.BDF是等腰直角三角形在 中，思考

12、2【解析】：延长BA，CD交于点H，连接HN，因为B=30，C=60，所以BHC=90所以HN=DN(直角三角形斜边中线性质)NHD=NDH=60连接MH，同理可知MHD=C=60。所以NHD=MHD，即H，N，M三点共线(这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下)所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5所以AD=1 EF=(1+7)/2=4思考3【解析】 过点 作 ，交 于点 . 为 的中点为 的中点，由 ，得 ，又 ，思考4【解析】：延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG.那么CDGBDE.所以CG=BE=3，B.因为1=90，所以2=FCG=90.因

13、为DF垂直平分EG，所以FG=EF.在RtFCG中，由勾股定理得 ，所以EF=5.思考5【解析】：证明：如图，连结 、 . 为 的中位线，同理 ， .四边形 为平行四边形.(有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜)在 和 中，即 .四边形 为菱形.教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的先生概念并非源于教书，最初出现的先生一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的先生何为出此言也？；论语中的有酒食，先生馔；国策中的先生坐，何至于此？等等，均指

14、先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有先生长者，有德之称的说法。可见先生之原意非真正的教师之意，倒是与当今先生的称呼更接近。看来，先生之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称老师为先生的记载，首见于礼记?曲礼，有从于先生，不越礼而与人言，其中之先生意为年长、资深之传授知识者，与教师、老师之意基本一致。单靠死记还不行,还得活用,姑且称之为先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还

15、培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到一石多鸟的效果。查字典数学网观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说乌云跑得飞快。我加以肯定说这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天