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1、2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 5 分 在复平面内 复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 5 分 已知集合A x x 2 x 2 0 B x x 1 则A B A 2 1 B 1 1 C 0 1 D 1 2 3 5 分 已知x y R 且x y 0 则 A cosx cosy 0 B cosx cosy 0 C lnx lny 0 D lnx lny 0 4 5 分 函数f x 的图象向左平移一个单位长度 所得图象与y e x 关
2、于y轴对称 则 f x A e x 1 B e x 1 C e x 1 D e x 1 5 5 分 希尔宾斯基三角形是一种分形 由波兰数学家希尔宾斯基在1915 年提出 先作 一个正三角形 挖去一个 中心三角形 即以原三角形各边的中点为顶点的三角形 然后在剩下的小三角形中又挖去一个 中心三角形 我们用白色代表挖去的面积 那么 黑三角形为剩下的面积 我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形 在如图第3 个大正三角 形中随机取点 则落在黑色区域的概率为 A B C D 6 5 分 已知等比数列 an 满足a1 a2 36 a1 a3 24 则使得a1a2 an取得最大值的n 为 A 3 B 4 C 5 D
3、 6 7 5 分 已知 为锐角 cos 则 tan A B C 2 D 3 8 5 分 已知双曲线C O为坐标原点 直线x a与双曲线C的两条渐近线 交于A B两点 若 OAB是边长为2 的等边三角形 则双曲线C的方程为 A y 2 1 B x 2 1 C 1 D 1 9 5分 地球上的风能取之不尽 用之不竭 风能是清洁能源 也是可再生能源 世界各 国致力于发展风力发电 近10 年来 全球风力发电累计装机容量连年攀升 中国更是发 展迅猛 在2014 年累计装机容量就突破了100GW 达到 114 6GW 中国的风力发电技术 也日臻成熟 在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心 以下
4、是近10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图 根据以上信息 正确的统计结论 是 A 截止到2015 年中国累计装机容量达到峰值 B 10 年来全球新增装机容量连年攀升 C 10 年来中国新增装机容量平均超过20GW D 截止到2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10 5 分 已知函数f x 2x 1 且f a 2 f 2a 3 则a的取值范围是 A 3 1 B 2 0 C 2 0 D 1 3 11 5 分 已知函数f x sinx sin x 现给出如下结论 f x 是奇函数 f x 是周期函数 f x 在区间 0 上有三个零点 f x 的最大值为2 其中正确
5、结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 12 5 分 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长为4 底面边长为2 用一个平面截此棱柱 与侧棱AA1 BB1 CC1分别交于点M N Q 若 MNQ为直角三角形 则 MNQ面积的最大 值为 A 3 B C D 3 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 满分20 分 13 5 分 从进入决赛的6 名选手中决出1 名一等奖 2 名二等奖 3名三等奖 则可能的 决赛结果共有种 用数字作答 14 5 分 在 ABC中 AB 2 AC 3 P是边BC的垂直平分线上一点 则 15 5 分 函数f x lnx和g x ax 2 x的图象有公共点P 且
6、在点P处的切线相 同 则这条切线方程为 16 5 分 在平面直角坐标系xOy中 对曲线C上任意一点P P到直线x 1 0 的距离与 该点到点O的距离之和等于2 则曲线C与y轴的交点坐标是 设点A 0 则 PO PA 的最小值为 三 解答题 本大题共5 小题 共70 分 解答须写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 17 12 分 绿水青山就是金山银山 近年来 祖国各地依托本地自然资源 打造旅游产业 旅游业正蓬勃发展 景区与游客都应树立尊重自然 顺应自然 保护自然的生态文明理 念 合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道 某景区有一个自愿消费的项目 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张
7、与景点的合影 参观后 在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来 游客可自由选择是否带走照片 若带走照片则需支付20 元 没有被带走的照片会收集起来统一销毁 该项目运营一段时间后 统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片 为改善运营状况 该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研 发现收费与消费意愿有较强的线性相关性 并统计出在原有的基础上 价 格每下调1 元 游客选择带走照片的可能性平均增加0 05 假设平均每天约有5000 人参 观该特色景点 每张照片的综合成本为5 元 假设每个游客是否购买照片相互独立 1 若调整为支付10 元就可带走照片 该项目每天的平均利润比调整前多还是少 2 要
8、使每天的平均利润达到最大值 应如何定价 18 12 分 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知asinB bsin A 1 求A 2 D是线段BC上的点 若AD BD 2 CD 3 求 ADC的面积 19 12 分 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 点A 1 在椭圆C 上 直线l1过椭圆C的有交点与上顶点 动直线l2 y kx与椭圆C交于M N两点 交 l1于P点 1 求椭圆C的方程 2 已知O为坐标原点 若点P满足 OP MN 求此时 MN 的长度 20 12 分 如图 三棱锥P ABC中 平面PAB 平面ABC PA PB APB ACB 90 点E F分别是棱AB
9、 PB的中点 点G是 BCE的重心 1 证明 GF 平面PAC 2 若GF与平面ABC所成的角为60 求二面角B AP C的余弦值 21 12 分 已知函数f x 1 x 2sinx x 0 1 求f x 的最小值 2 证明 f x e 2x 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清 楚题号 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 22 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 m为参数 1 写出曲线C的普通方程 并说明它表示什么曲线 2 已知倾斜角互补的两条直线l1 l2 其中l1与曲线C交于A B两点 l2与C交于M N两点 l1与l2交于
10、点P x0 y0 求证 PA PB PM PN 选修 4 5 不等式选讲 23 已知函数f x x a x 1 1 若f a 2 求a的取值范围 2 当x a a k 时 函数f x 的值域为 1 3 求k的值 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 5 分 在复平面内 复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 分析 利用复数代数形式的乘除运算化简 求出复数所对应点的坐标得答案 解答 解 在复平面内 复数对应的点的坐标为 2
11、1 位于第一象限 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的代数表示法及其几何意义 是 基础题 2 5 分 已知集合A x x 2 x 2 0 B x x 1 则A B A 2 1 B 1 1 C 0 1 D 1 2 分析 可以求出集合A B 然后进行交集的运算即可 解答 解 A x 1 x 2 B x x 1 或x 1 A B 1 2 故选 D 点评 本题考查了描述法 区间的定义 一元二次不等式和绝对值不等式的解法 交 集的运算 考查了计算能力 属于基础题 3 5 分 已知x y R 且x y 0 则 A cosx cosy 0 B cosx cosy 0 C lnx lny
12、 0 D lnx lny 0 分析 根据题意 结合函数的单调性分析选项A C 可得A错误 C正确 对于B D 利用特殊值分析可得其错误 综合即可得答案 解答 解 根据题意 依次分析选项 对于A y cosx在 0 上不是单调函数 故cosx cosy 0 不一定成立 A错误 对于B 当x y 时 cosx cosy 1 0 B不一定成立 对于C y lnx在 0 上为增函数 若x y 0 则lnx lny 必有lnx lny 0 C正确 对于D 当x 1 y 时 lnx lny ln 0 D不一定成立 故选 C 点评 本题考查函数单调性的应用 涉及实数大小的比较 属于基础题 4 5 分 函数f
13、 x 的图象向左平移一个单位长度 所得图象与y e x 关于y轴对称 则 f x A e x 1 B e x 1 C e x 1 D e x 1 分析 根据函数图象变换关系 利用逆推法进行求解即可 解答 解 y e x 关于y轴对称的函数为y e x 然后向右平移一个单位得到f x 得y e x 1 即f x e x 1 故选 A 点评 本题主要考查函数图象变换 结合条件进行逆推法是解决本题的关键 比较基 础 5 5 分 希尔宾斯基三角形是一种分形 由波兰数学家希尔宾斯基在1915 年提出 先作 一个正三角形 挖去一个 中心三角形 即以原三角形各边的中点为顶点的三角形 然后在剩下的小三角形中又
14、挖去一个 中心三角形 我们用白色代表挖去的面积 那么 黑三角形为剩下的面积 我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形 在如图第3 个大正三角 形中随机取点 则落在黑色区域的概率为 A B C D 分析 我们要根据已知条件 求出第3 个大正三角形的面积 及黑色区域的面积 代 入几何概型计算公式 即可求出答案 解答 解 由题意可知 每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的 不妨设第一 个三角形的面积为1 第三个三角形的面积为1 则阴影部分的面积之为 第 3 个大正三角形中随机取点 则落在黑色区域的概率 故选 B 点评 几何概型的概率估算公式中的 几何度量 可以为线段长度 面积 体积等 而且这个 几何度量 只
15、与 大小 有关 而与形状和位置无关 解决的步骤均为 求 出满足条件A的基本事件对应的 几何度量 N A 再求出总的基本事件对应的 几何 度量 N 最后根据P 求解 6 5 分 已知等比数列 an 满足a1 a2 36 a1 a3 24 则使得a1a2 an取得最大值的n 为 A 3 B 4 C 5 D 6 分析 结合等比数列的通项公式可求通项 然后结合项的正负及增减性可求 解答 解 等比数列 an 满足a1 a2 36 a1 a3 24 解可得 q a1 27 an 若使得a1a2 an取得最大值 则n应该是偶数 且n 4 时 an 1 故当n 4 时 a1a2 an取得最大值 故选 B 点评
16、 本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用 分析数列的项的特点是求解 问题的关键 7 5 分 已知 为锐角 cos 则 tan A B C 2 D 3 分析 求出tan 从而 tan 由此能求出tan 的值 解答 解 为锐角 cos sin tan 解得 tan 或 tan 2 tan 3 故选 D 点评 本题考查三角函数值的求法 考查诱导公式 正切函数的二倍角公式 正切加 法定理等基础知识 考查运算求解能力 是基础题 8 5 分 已知双曲线C O为坐标原点 直线x a与双曲线C的两条渐近线 交于A B两点 若 OAB是边长为2 的等边三角形 则双曲线C的方程为 A y 2 1 B x 2 1 C 1 D 1 分析 求出双曲线的渐近线方程 令x a 求得A B的坐标 由等边三角形的性质可 得a b的值 进而得到双曲线的方程 解答 解 双曲线C 的渐近线方程为bx ay 0 和bx ay 0 由x a与双曲线C的两条渐近线交于A a b B a b OAB是边长为2 的等边三角形 即有2b 2 即b 1 且a 2 可得双曲线的方程为 y 2 1 故选 A 点评 本题考查双曲线的方程和性
