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1、文档鉴赏 习题 1 8 1研究下列函数的连续性并画出函数的图形 1 212 10 2 xx xx xf 解 已知多项式函数是连续函数所以函数 f x 在 0 1 和 1 2 内是连续的 在 x 1 处因为 f 1 1并且 1lim lim 2 11 xxf xx 1 2 lim lim 11 xxf xx 所以1 lim 1 xf x 从而函数 f x 在 x 1 处是连续的 综上所述 函数f x 在 0 2 上是连续函数 2 1 1 11 x xx xf 解 只需考察函数在x1 和 x 1 处的连续性 在 x1 处因为 f 1 1并且 1 11lim lim 11 fxf xx 1 1lim
2、 lim 11 fxxf xx 所以函数在 x1 处间断但右连续 在 x 1 处因为 f 1 1并且 1lim lim 11 xxf xx f 1 11lim lim 11 xx xff 1 所以函数在 x 1 处连续 文档鉴赏 综合上述讨论函数在 1 和 1 内连续 在 x1 处间断但右连续 2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点 属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数 的定义使它连续 1 23 1 2 2 xx x yx 1 x 2 解 1 2 1 1 23 1 2 2 xx xx xx x y因为函数在 x 2 和 x 1 处无定义所以 x 2 和 x 1 是函数的间断点 因为 2
3、3 1 limlim 2 2 22 xx x y xx 所以 x 2 是函数的第 二类间断点 因为2 2 1 limlim 11 x x y xx 所以 x 1 是函数的第一 类间断点并且是可去间断点在 x 1 处令 y2则 函数在 x 1 处成为连续的 2 x x y tan x k 2 kx k 012 解 函数在点 x k k Z 和 2 kx k Z 处无定 义因而这些点都是函数的间断点 因 x x kx tan lim k 0 故 x k k 0 是第二类间断 文档鉴赏 点 因为1 tan lim 0 x x x 0 tan lim 2 x x kx k Z 所以 x 0 和 2 k
4、x k Z 是第一类间断点且是可去间断点 令 y x 01则函数在 x 0 处成为连续的 令 2 kx时 y 0则函数在 2 kx处成为连 续的 3 x y 1 cos 2 x 0 解 因为函数 x y 1 cos 2 在 x 0 处无定义所以 x 0 是函数 x y 1 cos 2 的间断点又因为 x x 1 coslim 2 0 不存在所 以 x 0 是函数的第二类间断点 4 13 11 xx xx yx1 解 因为0 1 lim lim 11 xxf xx 2 3 lim lim 11 xxf xx 所以 x 1是函数的第一类不可去 间断点 3讨论函数x x x xf n n n 2 2
5、 1 1 lim 的连续性若有间断 点判别其类型 文档鉴赏 解 1 1 0 1 1 1 lim 2 2 xx x xx x x x xf n n n 在分段点 x1 处因为1 lim lim 11 xxf xx 1lim lim 11 xxf xx 所以 x1 为函数的第一类不可 去间断点 在分段点 x 1 处因为1lim lim 11 xxf xx 1 lim lim 11 xxf xx 所以 x 1为函数的第一类不可去 间断点 4证明若函数 f x 在点 x0连续且 f x0 0则存在 x0的某一邻域 U x0 当 x U x0 时 f x 0 证明 不妨设 f x0 0因为 f x 在
6、x0连续所以 0 lim 0 0 xfxf xx 由极限的局部保号性定理存在 x0 的某一去心邻域 0 xU使当 x 0 xU时 f x 0从而当 x U x0 时 f x 0这就是说则存在 x0的某一邻域 U x0 当 x U x0 时 f x 0 5试分别举出具有以下性质的函数f x 的例子 1 x 012 2 1 n n 1 是 f x 的所有 文档鉴赏 间断点且它们都是无穷间断点 解 函数 x xxfcsc csc 在点 x 012 2 1 n n 1 处是间断的 且这些点是函数的无穷间断点 2 f x 在 R 上处处不连续但 f x 在 R 上处处连续 解 函数 Q Q x x xf 1 1 在 R 上处处不连续但 f x 1 在 R 上处处连续 3 f x 在 R 上处处有定义但仅在一点连续 解 函数 Q Q xx xx xf 在 R上处处有定义它 只在 x 0 处连续
