CFD讲义湍流模型.pdf

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1、24 第三章 湍流模型 第一节 前言 湍流流动模型很多 但大致可以归纳为以下三类 第一类是湍流输运系数模型 是Boussinesq 于 1877 年针对二维流动提出的 将速度脉 动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积 即 3 1 2 1 21 x u uu t 推广到三维问题 若用笛卡儿张量表示 即有 3 2 ij i j j i tji k x u x u uu 3 2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数的方法 根据建立模型所需要的微分方程的数 t 目 可以分为零方程模型 代数方程模型 单方程模型和双方程模型 第二类是抛弃了湍流输运系数的概念 直接建立湍流应力和其它二阶关联量的

2、输运方程 第三类是大涡模拟 前两类是以湍流的统计结构为基础 对所有涡旋进行统计平均 大 涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流 通过求解三维经过修正的Navier Stokes 方程 得到大涡旋的运动特性 而对小涡旋运动还采用上述的模型 实际求解中 选用什么模型要根据具体问题的特点来决定 选择的一般原则是精度要高 应用简单 节省计算时间 同时也具有通用性 FLUENT 提供的湍流模型包括 单方程 Spalart Allmaras 模型 双方程模型 标准 模型 重整化群 模型 可实现 Realizable 模型 及雷诺应力模型和大涡 模拟 25 Zero Equation Models One

3、Equation Models Spalart Allmaras Two Equation Models Standard k RNG k Realizable k Reynolds Stress Model Large Eddy Simulation Direct Numerical Simulation 包含更多 物理机理 每次迭代 计算量增加 FLUENT 提 供的模型选 择 RANS based models 湍流模型种类示意图 第二节 平均量输运方程 雷诺平均就是把Navier Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分 对于速 度 有 3 3 iii uuu 其中 和

4、分别是平均速度和脉动速度 i 1 2 3 i u i u 类似地 对于压力等其它标量 我们也有 3 4 其中 表示标量 如压力 能量 组分浓度等 把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程 并取平均 去掉平均速度上的横线 i u 我们可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式 3 50 i i u xt 3 6 ji jl l ij i j j i ji i uu xx u x u x u xx p Dt Du 3 2 上面两个方程称为雷诺平均的Navier Stokes RANS 方程 他们和瞬时Navier Stokes 方程有相同的形式 只是速度或其它求解变量变成了时间平均量 额

5、外多出来的项 是雷诺应力 表示湍流的影响 如果要求解该方程 必须模拟该项以封闭方程 jiu u 如果密度是变化的流动过程如燃烧问题 我们可以用法夫雷 Favre 平均 这样才可以 求解有密度变化的流动问题 法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外 所有变量都用密度 加权平均 变量的密度加权平均定义为 3 7 26 符号 表示密度加权平均 对应于密度加权平均值的脉动值用表示 即有 很显然 这种脉动值的简单平均值不为零 但它的密度加权平均值等于零 即 00 Boussinesq 近似与雷诺应力输运模型 为了封闭方程 必须对额外项雷诺应力进行模拟 一个通常的方法是应用 jiu u Boussinesq

6、假设 认为雷诺应力与平均速度梯度成正比 即 3 8 ij i i t i j j i tji x u k x u x u uu 3 2 Boussinesq 假设被用于Spalart Allmaras 单方程模型和双方程模型 Boussinesq 近似k 的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少 例如在Spalart Allmaras 单方程模型中 只多求解一个表示湍流粘性的输运方程 在双方程模型中 只需多求解湍动能k 和耗散k 率 两个方程 湍流粘性系数用湍动能k 和耗散率 的函数 Boussinesq假设的缺点是认 为湍流粘性系数是各向同性标量 对一些复杂流动该条件并不是严格成立 所

7、以具有其应 t 用限制性 另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程 这也需要额外再求解一个标量方程 通 常是耗散率 方程 这就意味着对于二维湍流流动问题 需要多求解4 个输运方程 而三维 湍流问题需要多求解7 个方程 需要比较多的计算时间 对计算机内存也有更高要求 在许多问题中 Boussinesq 近似方法可以得到比较好的结果 并不一定需要花费很多时 间来求解雷诺应力各分量的输运方程 但是 如果湍流场各向异性很明显 如强旋流动以及 应力驱动的二次流等流动中 求解雷诺应力分量输运方程无疑可以得到更好的结果 第三节 湍流模型 3 3 1 单方程 Spalart Allmaras 模型 Spala

8、rt Allmaras 模型的求解变量是 表征出了近壁 粘性影响 区域以外的湍流运动 粘性系数 的输运方程为 3 9Y x C xx G Dt D j b jj 1 2 其中 是湍流粘性产生项 是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少 GY 和是常数 是分子运动粘性系数 2b C 湍流粘性系数用如下公式计算 1 f t 27 其中 是粘性阻尼函数 定义为 并且 1 f 3 1 3 3 1 C f 湍流粘性产生项 用如下公式模拟 G 3 10 1 SCG b 其中 而 其中 和 k 是常数 d 是计算点到 2 22 f dk SS 1 2 1 1 f f 1b C 壁面的距离 S 定义为 i

9、jij2ij 3 11 j i i j ij x u x u 2 1 由于平均应变率对湍流产生也起到很大作用 FLUENT 处理过程中 定义S 为 3 12 0min ijijprodij SCS 其中 平均应变率定义为 0 2 prod C ijijijijijij SSS2 ij S 3 13 j i i j ij x u x u S 2 1 在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小 这适合涡流靠近涡旋中心 的区域 那里只有 单纯 的旋转 湍流受到抑止 包含应变张量的影响更能体现旋转对湍 流的影响 忽略了平均应变 估计的涡旋粘性系数产生项偏高 湍流粘性系数减少项为 Y 3 14

10、 2 1 d fCY ww 其中 3 15 6 1 6 3 6 6 3 1 w w w Cg C gf 3 16 6 2 rrCrg w 3 17 22 dkS r 其中 是常数 在上式中 包括了平均应变率对 1w C 2w C 3w C 2 22 f dk SS S的影响 因而也影响用计算出来的r S 上面的模型常数在FLUENT 中默认值为 1335 0 1b C622 0 2b C3 2 1 7 1 C 2 2 11 1 bbw CkCC3 0 2w C0 2 3w C41 0k 壁面条件 在壁面 湍流运动粘性设置为零 当计算网格足够细 可以计算层流底层时 壁面切 28 应力用层流应力

11、应变关系求解 即 3 18 yu u u 如果网格粗错不能用来求解层流底层 则假设与壁面近邻的网格质心落在边界层的对数 区 则根据壁面法则 3 19 yu E ku u ln 1 其中 k 0 419 E 9 793 对流传热传质模型 在 FLUENT 中 用雷诺相似湍流输运的概念来模拟热输运过程 给出的能量方程为 3 20 heffijj i tp i i i Su x T t c k x pEu x E t Pr 式中 E 是总能量 是偏应力张量 定义为 effij 3 21 ij i i eff j i i j effeffij x u x u x u 3 2 其中 表示粘性加热 耦合求

12、解 如果默认为分开求解 FLUENT 不求解处 effij 但是可以通过变化 粘性模型 面板上的湍流普朗特数 Prt 其默认值为0 85 effij 湍流质量输运与热输运类似 默认的Schmidt 数是 0 7 该值同样也可以在 粘性模型 面板上调节 标量的壁面处理与动量壁面处理类似 分别选用合适的壁面法则 综上所述 Spalart Allmaras 模型是相对简单的单方程模型 只需求解湍流粘性的输运方 程 并不需要求解当地剪切层厚度的长度尺度 该模型对于求解有壁面影响流动及有逆压力 梯度的边界层问题有很好模拟效果 在透平机械湍流模拟方面也有较好结果 Spalart Allmaras 模型的初

13、始形式属于对低雷诺数湍流模型 这必须很好解决边界层的粘 性影响区求解问题 在FLUENT 中 当网格不是很细时 采用壁面函数来解决这一问题 当 网格比较粗糙时 网格不满足精确的湍流计算要求 用壁面函数也许是最好的解决方案 另 外 该模型中的输运变量在近壁处的梯度要比中的小 这使得该模型对网格粗糙带来数k 值误差不太敏感 但是 Spalart Allmaras 模型不能预测均匀各向同性湍流的耗散 并且 单方程模型没有 考虑长度尺度的变化 这对一些流动尺度变换比较大的流动问题不太适合 比如 平板射流 问题 从有壁面影响流动突然变化到自由剪切流 流场尺度变化明显 3 3 2 标准模型k 标准模型需要

14、求解湍动能及其耗散率方程 湍动能输运方程是通过精确的方程推导k 29 得到 但耗散率方程是通过物理推理 数学上模拟相似原形方程得到的 该模型假设流动为 完全湍流 分子粘性的影响可以忽略 因此 标准模型只适合完全湍流的流动过程模拟 k 标准模型的湍动能k 和耗散率 方程为如下形式 k 3 22 Mbk ik t i YGG x k xDt Dk 3 23 k CGCG k C xxDt D bk ik t i 2 231 在上述方程中 表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生 是用于浮力影响引起 k G b G 的湍动能产生 可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响 湍流粘性系数 M Y 2 k C t

15、 在 FLUENT 中 作为默认值常数 1 44 1 92 湍动能 k 与耗 1 C 2 C09 0C 散率 的湍流普朗特数分别为 1 0 1 3 可以通过调节 粘性模型 面板来调节 k 这些常数值 3 3 3 重整化群 模型 重整化群 模型是对瞬时的Navier Stokes方程用重整化群的数学方法推导出来的 模型 模型中的常数与标准 模型不同 而且方程中也出现了新的函数或者项 其湍动 能与耗散率方程与标准 模型有相似的形式 3 24 Mbk i effk i YGG x k xDt Dk 3 25 R k CGCG k C xxDt D bk i eff i 2 231 表示由于平均速度梯

16、度引起的湍动能产生 是用于浮力影响引起的湍动能产生 可 k G b G M Y 压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响 这些参数与标准 模型中相同 和分别 k 是湍动能 k 和耗散率的有效湍流普朗特数的倒数 湍流粘性系数计算公式为 3 26 1 72 1 3 2 d C k d 其中 eff 100C 对上面方程积分 可以精确得到有效雷诺数 涡旋尺度 对湍流输运的影响 这有助于 处理低雷诺数和近壁流动问题的模拟 30 对于高雷诺数 上面方程可以给出 这个结果非常有意 2 k C t 0845 0C 思 和标准 模型的半经验推导给出的常数非常近似 09 0 C 在 FLUENT 中 如果是默认设置 用重整化群 模型时候是针对的高雷诺数流动问 题 如果对低雷诺数问题进行数值模拟 必须进行相应的设置 重整化群 模型有旋修正 通常 平均运动有旋时候对湍流有重要影响 FLUENT 中重整化群 模型通过修正湍 流粘性系数来考虑了这类影响 湍流粘性的修正形式为 3 27 0 k f stt 其中 是不考虑有旋计算出来的湍流粘性系数 是 FLUENT 计算出来的特征旋流数 0t 是旋流常数 不同值表示有旋