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1、 第一章 1 2证明 证 n为奇数 0 1 4计算下面两个函数的一维卷积 解 1 改变量 2 折叠 3 位移 当 3 位移 当 相乘 积分得卷积 如图 当 如图 相乘 积分得卷积 0 其它 1 5计算下列一维卷积 解 1 2 1 0 其它 0 其它 2 1 6已知 的傅里叶变换为 试求 解 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案 1 7计算积分 解 利用广义巴塞伐定理求解 1 8应用卷积定理求 的傅里叶变换 解 1 2 0 其它 1 9设 求 解 1 10设线性平移不变系统的原点响应为 试计算系统对阶跃函数step x 的响应 解 1 将f x 和h x 变为f 和h 并画出相应的曲线 2 将
2、h h 只要将h 曲线相对纵轴折叠便得到其镜 像h 曲线 3 将曲线h 沿x轴平移x便得到h x 因此g x 0 1 11有两个线性平移不变系统 它们的原点脉冲响应分别为 和 试计算各自对输入函数 的响应 和 解 1 12已知一平面波的复振幅表达式为 试计算其波长以及沿x y z方向的空间频率 第二章 2 1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上 试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布 解 解 设入射激光束的复振幅A0 强度为 2 1焦距f 500mm 直径D 50mm的透镜将波长 的激光束聚焦 激光束的截面D1 20mm 试求透镜焦点处的光强是激光束光强的多少倍 通过透镜后的出 射光场
3、为 将此式代入菲涅耳衍射公式 3 波长为 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上 在孔径平面上有一个足够大的模板 其振幅透过率为 求透射场的角谱 解 4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上 以单位振幅的单色平面波垂直照明 试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布 2 5在夫琅和费衍射中 只要孔径上的场没有相位变化 则不论孔径形状如何 夫琅和费衍射图样都有一个对称中心 解 由于孔径上的场没有相位的变化 则孔径的透过率函数为实数 2 6在题2 5中 若孔径对于某一直线是对称的 则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称 A B C D P 因为孔径关于AB对称 所以
4、 所以 结论成立 因为 2 7在题2 5中 若孔径具有对称中心 则衍射图样将出现条纹花样 衍射图样的强度由 要使I 0 所以强度为零是它们的交点 但因为开孔对于原点对称 所以有 这时 S 0 强度为零的轨迹是由 表示的曲线 在衍射图中形成条纹花样 2 8证明阵列定理 设衍射屏上有N个形状和方位均相同的全等形开孔 在每个孔内取一个位置相应的点代表孔径位置 则夫琅和费衍射场是下述两个因子的乘积 1 置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射 衍射屏的原点处不一定有开孔 2 N个点源在观察面上的干涉 上式就是所谓的阵列定理 第一个因子相当于把某一个小孔的相应点移到原点时单孔的夫琅和费衍射图样 第二个因子相当于
5、N个点源分别位于 时在观察面上形成的干涉图样 第一个因子称为形状因子 它取决于单个小孔的衍射 第二个称为阵列因子 只取决于小孔相互排列的情况 而与衍射小孔本身的形状无关 如果各衍射孔的位置是随机分布的 则可用概率论中的随机行走问题来计算 2 9如上题 小孔规则排列 则 利用 2 10一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数 1 这个屏的作用在什么方面像一个透镜 2 给出此屏的焦距表达式 3 什么特性会严重地限制这种屏用做成像装置 特别是对于彩色物体 平面波 会聚球面波 发散球面波 在成像和傅里叶变换性质上类似于透镜 焦距 色散特性会严重地限制这种屏用做成像装置 第三章 3 1参看图3 1 1 在
6、推导相干成像系统点扩散函数3 1 5式时 对于积分号前的相位因子 试问 1 物平面上半径多大时 相位因子 相对于它在原点之值正好改变 弧度 2 设光瞳函数是一个半径为a的圆 那么在物平面上相应h的第一零点的半径是多少 3 由这些结果 设观察是在透镜光轴附近进行 那么a 和d0 3 1 3 之间存在什么关系时可以弃去相位因子 解 1 原点相位为零 因此 与原点相位差为 的条件是 2 由3 1 5式 相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅和费衍射图样 其中心位于理想像点 式中 考虑 x0 y0 的点扩散函数 且设其第一个零点在原点处 如图 只有在以r0为半径的区域内的各点才对 有贡献 3 根
7、据线性系统理论 像面上原点处的场分布 必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对原点的贡献h x0 yo 0 0 按照上面的分析 如果略去h第一个零点以外的影响 即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r小于等于r0范围内的小区域 当这个小区域内各点的相位因子exp jkr20 2d0 变化不大 就可认为 3 1 3 式的近似成立 而将它弃去 假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度 例如 16 就满足以上要求 则 数据 这一条件是极容易满足的 3 2一个余弦型振幅光栅 复振幅透过率为 放在上图3 3 1所示的成像系统的物平面上 用单色平面波倾斜照明 平面波的传播方向
8、在x0z平面内 与z轴夹角为 透镜焦距为f 孔径为D 1 求物体透射光场的频谱 2 使像平面出现条纹的最大 角等于多少 求此时像面强度分布 3 若 采用上述极大值 使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少 与 0时的截止频率比较 结论如何 解 斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 则物平面上的透射光场为 其频谱为 由此可见 相对于垂直入射照明 物频谱沿 轴整体平移了sin 距离 2 要使像面有强度变化 至少要有两个频率分量通过系统 系统的截止 最大的 角 此时像面上的复振幅分布和强度分布为 3 照明光束的倾角取最大值时 系统的截止频率为 因此光栅的最大频率 因此当采用最大倾角的平面波照射时 系统
9、的截止频率提高了一倍 也就是提高了系统的极限分辨率 但系统的通带宽度不变 3 3光学传递函数在 0处都等于1 这是为什么 光学传递函数的值可能大于1吗 如果光学系统真的实现了点物成点像 这时的光学传递函数怎样 解 1 光学传递函数为 所以当 0 时 这是归一化的结果 2 由上式可知 光学传递函数的值不可能大于1 3 如果光学系统真的实现了点物成点像 点扩散函数是 函数 这时的光学传递函数为常数 等于1 3 4当非相干成像系统的点扩散函数hI xi yi 成点对称时 则其光学传递函数是实函数 OTF 所以OTF为实函数 3 5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成 小圆孔的直径都为2a
10、 出瞳到像面的距离为di 光波长为 这种系统可用来实现非相干低通滤波 系统的截止频率近似为多少 用公式 3 4 15 来分析 首先 由于出瞳上的小圆孔是随机排列的 因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积 其结果都一样 即系统的截止频率在任何方向上均相同 其次 作为近似估计 只考虑每个小孔自身的重叠情况 而不计及和其它小孔的重叠 这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积 其结果与单个小孔的重叠情况是一样的 即截止频为约为2 di 由2 很小 所以系统实现低通滤波 OTF 第五章习题 5 1证明 若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面内 则最后所得到的像将在一个与全息图平行的平面内 为
11、简单起见 可设参考光为一平面波 解 利用点源全息图公式 5 5 13 5 5 15 取物平面上任一点来研究 为简单起见 设 1 2 参考光波和再现光波是波矢平行于yz平面的平面波 即zP zr xP xr 0 于是有 不管是原始虚像还是共轭实像 zi均与x0 y0无关 即不管物点在物平面上位于何处 其像点均在同一平面内 但位置有变化 随参考光波和再现光波的不同而在像平面内发生平移 实际上zi只与z0有关 而平面物体的z0都相同 所以再现像在同一平面内 2 设zp Zr 2zo zo 1Ocm 问Zi是多少 放大率M是多少 5 2制作一全息图 记录时用的是氧离子激光器波长为488 Om的光 而成
12、像是用He Ne激光器波长为632 8m的光 1 设zp zr zo 1Ocm 问像距zi是多少 5 3证明 若 2 l 及zp Zr 则得到一个放大率为1的虚像 若 2 l 及zp Zr时 则得到一个放大率为1的实像 由5 5 13可证明 5 4下表列举了几种底片的MTF的近似截止频率 型号线 mmKodakTri x5Okodak高反差片60kodakS0 243300AgfaAgepamFF600设用632 8m波长照明 采用无透镜傅里叶变换记录光路 参考点和物体离底片lOcm 若物点位于某一大小的圆 在参考点附近 之外 则不能产生对应的像点 试对每种底片估计这个圆的半径 5 6 3无透
13、镜傅里叶变换全息图 解 物点离参考点越远 空间频率越高 若 最高空间频率 那么 只有坐标满足条件 是乳胶能分辨的 的那些物点才能在再现像中出现 5 6 12 55证明 图题5 1 a 和 b 的光路都可以记录物体的准傅里叶变换全息图 图题5 1准傅里叶变换全息图的两种光路 解 1物体位于透镜前d0处 应用公式2 4 9P51 式中 参考光在后焦平面上形成的光场分布为 这里的记录平面并不是物和参考光的准确傅里叶变换平面 多了一个二次相位因子 因此说全息图平面是物光场分布的准傅里叶变换平面 全息图平面上的光强分布为 由此可见 二次相位因子已相互抵消 只有倾斜因子和物频谱 故记录了物的傅里叶频谱 但
14、记录面又不是物的准确傅里叶变换平面 所以称为准傅里叶变换全息图 2 物在透镜后f d 处 应用公式 2 4 15 P53 得透镜后焦面上的物场分布为 式中 参考光在后焦平面上形成的光场分布为 全息图平面上的光强分布为 由于物光波和参考光波有相同的相位因子 可相互抵消 从而得到物体的准傅里叶变换全息图 5 6散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是 全息图上局部区域的划痕和脏迹并不影响像的再现 甚至取出全息图的一个碎片 仍能完整地再现原始物体的像 这一性质称为全息图的冗余性 1 应用全息照相的基本原理 对这一性质加以说明 2 碎片的尺寸对再现像的质量有哪些影响 解 1 对于散射物体的菲涅耳全息图
15、物体与底片之间的关系是点面对应关系 即每一物点所发出的光波都直接照射到记录介质的整个平面上 反过来 菲涅耳全息图上的每一点都包含了物体各点的全部信息 称为全息图的 冗余 性 这意味着只要一小块全息图就可完整再现原始物的像 因此 局部区域的划痕和脏迹并不影响物的完整再现 甚至取出一小块仍能完整再现原始物体的像 2 虽然 冗余的各小块并不带来新的信息 但各小块再现像的叠加提高了像的信噪比 增加了像的亮度其次 一个物点再现为一个像点是在假定全息记录介质也即全息图为无限大的情况下得出的 对于有限大小的全息图 点物的再现像是一个衍射斑 全息图越小 衍射斑越大 分辨率越低 碎块的再现像分辨率较低 最后 通
16、过全息图来观察再现像 尤如通过橱窗看里面的陈列品一 如将橱窗的一都分遮档 有些物品就可能看不到 因此 小块全息图再现时 视场较小 5 7 见图题5 2 a 点源置于透镜前焦点 全息图可以记录透镜的像差 试证明 用共轭参考光照明图题5 2 b 可以补偿透镜像差 在原源点处产生一个理想的衍射斑 解 将点源置于透镜前焦点 由于透镜有像差 通过透镜出射的波面不为平面 参考光波用平面波 在全息图平面上物光和参考光波的复振幅分布为 全息图上的光强分布为 a b 全息图上的振幅透过率为 再现时用参考光波的共轭波 即C R 再现光场为 如果使exp j 0 x y 代表的光波 通过透镜 则与透镜所产生的有像差的波面 形状相同 方向相反 再经过透镜后可变成球面波 在焦点平面上形成一个理想系统的衍射斑 如图题52 b 所示 5 8 彩虹全息照相中使用狭缝的作用是什么 为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上 解 在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像 在普通全息照相中 若用白光照明全息图再现时 不同波长的光同时进入人眼 我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像 造成再
