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1、三 函数的间断点 一 函数连续性的概念 2 7 函数的连续性 第二章 二 连续函数的四则运算及初等函数的连续性 四 闭区间上连续函数的性质 可见 函数 在点 一 函数连续性的概念 定义1 在 的某邻域内有定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 存在 且 有定义 存在 有函数的增量 当 x 0时 对自变量的增量 若f x 在x0点处连续 则 定义4 则称函数f x 在点x0处左连续 则称函数f x 在点x0处右连续 例如 f x x 1 x x 1 1 显然f 1 1 而 1 f 1 即f x 在x 1处是右连续 f 1 即f x 在x 1处不是左连续 由函数的
2、极限与其左 右极限的关系 易得到下面定理 定理1 函数f x 在点x0处连续的充要条件是 函数f x 在点x0处既左连续又右连续 即 或 若 在区间 a b 内每一点都连续 则称它在区间 a b 上连续 或称它为该区间上的连续函数 定义5 如果f x 在区间 a b 内每一点都连续 在x a处右连续 在x b处左连续 则称f x 在闭区间 a b 上的连续 在闭区间 上的连续函数的集合记作 例1 证明函数 在 内连续 证 即 这说明 在 内连续 同样可证 函数 在 内连续 例2设函数 问b为何值时 函数y f x 在点x 0处连续 解由于f 0 2 且 若使函数y f x 在点x 0处连续 必
3、须 定理3 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增 在其定义域内连续 二 连续函数的运算法则 定理2 在某点连续的两个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递减 证明略 在 1 1 上也连续单调 递减 递增 定理4 连续函数的复合函数是连续的 在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增 又如 单调递增 例如 是由连续函数 因此 在 上连续 复合而成 定理5 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数仍是连续函数 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区
4、间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 定理6 1 y f u 在u a处连续 2 u x 在x X时极限存在 证 解 原式 例3 求 例4 求 解 原式 解 原式 例5 求 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 不连续 下列情形之一 这样的点 函数f x 在点 虽有定义 但 虽有定义 且 称为间断点 不连续的点 无定义 三 函数的间断点 定义6 例如x 0是下列各函数的间断点 第一类间断点 左右极限都存在的间断点 第一类间断点 1 可去间断点 间断点分类 x 0是可去间断点 2 跳跃间断点 x 0是跳跃间断点 左右极限都相等间断点 左右极限不都相等间断点
5、 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为无穷间断点 为振荡间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 内容小结 1 讨论函数 间断点的类型 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义 使其在该点连续 思考与练习 解 故x 1是一类可去间断点 补充定义f 1 2 则 函数f x 在x 1处连续 所以 x 2是第
6、二类无穷间断点 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 定理7 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 四 闭区间上连续函数的性质 例如 在 0 1 上无最大值和最小值 在 0 1 也无最大值和最小值 又如 定理8在闭区间上连续的函数在该区间上有界 设 M和m分别是 则对于满足m M 至少存在一点 定理9说明在闭区间上的连续函数 使 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 的任何实数 定理9 介值定理 推论1 零点定理 至少有一点 且 使 一个根 证 设 故据零点定理 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 即方程 在区间 内至少有一
7、个根 例1 证明方程 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 内容小结 P50 练习2 7 2 求下列函数的间断点 并判断其类型 如果是可去 间断点 则补充或改变函数的定义 使其在该点连续 解 解 解 解 备用题1 至少有一个不超过4的 证 证明 令 且 根据零点定理 原命题得证 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 2 1 证明方程 内有且仅有一个实根 2 记 1 中的实根为xn 证明 存在 并求此极限 2012考研数学二 证设 则f x 在 1 2 1 上连续 又因为 所以方程在 1 2 1 内有且仅有一个实根 2 记 1 中的实根为xn 证明 存在 并求此极限 假设xn是方程 的根 则 由 可证得 即数列xn单调递减且
