《2020版高考数学浙江专用二轮课件：3.3分类与整合思想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学浙江专用二轮课件：3.3分类与整合思想（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲分类与整合思想 题型一根据数学的概念分类讨论 例1 设00且a 1 比较 loga 1 x 与 loga 1 x 的大小 解析 因为01 00 loga 1 x 0 当a 1时 loga 1 x 0 所以 loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x2 0 由 可知 loga 1 x loga 1 x 拓展提升 本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论 我们称为概念分类型 由概念内涵引起的分类还有很多 如绝对值 a 分a 0 a 0 a 0三种情况 直线的斜率分倾斜角 90 斜率k存在 倾斜角 90 斜率不存在 指 数 对数函数 y ax a
2、0且a 1 与y logax a 0且a 1 可分为a 1 0 a 1两种类型 直线的截距式分直线过原点时 不过原点时等 变式训练 若函数f x loga x3 ax a 0且a 1 在区间内单调递增 则a的取值范围是 解析 选B 由题意得 x3 ax 0在上恒成立 即a x2在上恒成立 所以a 且a 1 若0 a 1 则g x x3 ax在上单调递减 即g x 3x2 a 0在上恒成立 所以3 a 0 得 a1 则h x x3 ax在上单调递增 即h x 3x2 a 0在上恒成立 所以a 0 这与a 1矛盾 综上 实数a的取值范围是 题型二根据运算的要求或性质 定理 公式的条件分类讨论 例2
3、 设数列 an 的前n项和为Sn 且满足a1 r Sn an 1 n N 1 试确定r的值 使 an 为等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 在 1 的条件下 设bn log2an 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 当n 1时 S1 a2 a2 a1 当n 2时 Sn 1 an 与已知式作差得an an 1 an 即an 1 2an n 2 欲使 an 为等比数列 则a2 2a1 2r 又a2 a1 所以r 故数列 an 是以为首项 2为公比的等比数列 所以an 2n 6 2 由 1 知bn n 6 所以 bn 若n 6 Tn b1 b2 bn 若n 6 Tn b1 b2 b5 b6
4、 bn 30 所以Tn 拓展提升 1 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数的单调性 均值定理 等比数列的求和公式等性质 定理与公式在不同的条件下有不同的结论 或者在一定的限制条件下才成立 这时要小心 应根据题目条件确定是否进行分类讨论 2 分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的 比如除法运算中分母能否为零的讨论 解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零 是正数 还是负数的讨论 二次方程运算中对两根大小的讨论 求函数单调性时 导数正负的讨论 排序问题 差值比较中的差的正负的讨论 有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等 变式训练 在等比数列 an 中 已知a3 S3 则a1 解析 当q 1时
5、 a1 a2 a3 S3 3a1 显然成立 当q 1时 由题意 得 所以由 得 3 即2q2 q 1 0 所以q 或q 1 舍去 当q 时 a1 6 综上可知 a1 或a1 6 答案 或6 题型三根据字母的取值情况分类讨论 例3 已知函数f x 2x3 3x 1 求f x 在区间 2 1 上的最大值 2 若过点P 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 求t的取值范围 3 问过点A 1 2 B 2 10 C 0 2 分别存在几条直线与曲线y f x 相切 只需写出结论 世纪金榜导学号 解析 1 由f x 2x3 3x 得f x 6x2 3 令f x 0 得x 或x 因为f 2 10 所以f
6、 x 在区间 2 1 上的最大值为 2 设过点P 1 t 的直线与曲线y f x 相切于点 x0 y0 则y0 2 3x0 且切线斜率为k 6 3 所以切线方程为y y0 6 3 x x0 因此t y0 6 3 1 x0 整理得4 6 t 3 0 设g x 4x3 6x2 t 3 则 过点P 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 等价于 g x 有3个不同零点 g x 12x2 12x 12x x 1 g x 与g x 的情况如下 所以 g 0 t 3是g x 的极大值 g 1 t 1是g x 的极小值 当g 0 t 3 0 即t 3时 此时g x 在区间 1 和 1 上分别至多有1个零
7、点 所以g x 至多有2个零点 当g 1 t 1 0 t 1时 此时g x 在区间 0 和 0 上分别至多有1个零点 所以g x 至多有2个零点 当g 0 0且g 1 0 所以g x 分别在区间 1 0 0 1 和 1 2 上恰有1个零点 由于g x 在区间 0 和 1 上单调 所以g x 分别在区间 0 和 1 上恰有1个零点 综上可知 当过点P 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切时 t的取值范围是 3 1 3 过点A 1 2 存在3条直线与曲线y f x 相切 过点B 2 10 存在2条直线与曲线y f x 相切 过点C 0 2 存在1条直线与曲线y f x 相切 拓展提升 含有参
8、数的问题 含参型 主要包括 含有参数的不等式的求解 含有参数的方程的求解 对于解析式系数是参数的函数 求最值与单调性问题 二元二次方程表示曲线类型的判定等 求解这类问题的一般思路是 结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论 讨论时 应全面分析参数变化引起结论的变化情况 参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想 变式训练 已知函数f x mx2 x lnx 若在函数f x 的定义域内存在区间D 使得该函数在区间D上为减函数 则实数m的取值范围为 解析 f x 2mx 1 即2mx2 x 10时 由于函数y 2mx2 x 1的图象的对称轴为x 0 故只需 0 即1 8m 0 故m 综上所述
9、 m 故实数m的取值范围为答案 题型四根据图形位置或形状变动分类讨论 例4 长方形ABCD中 AB 4 BC 8 在BC边上取一点P 使 BP t 线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q R时 用t表示 QR 世纪金榜导学号 解析 如图所示 分别以BC AB所在的边为x y轴建立平面直角坐标系 因为kAP 所以kQR 又AP的中点的坐标为所以QR所在的直线方程为y 2 由于t的取值范围的不同会导致Q R落在长方形ABCD的不同边上 故需分类讨论 当 PD AD 8时 易知 PC 所以当0 t 8 4时 Q R两点分别在AB CD上 对方程 分别令x 0和x 8 可得 这时 QR 2当8 4
10、 t 4时 Q R两点分别在AB AD上 对方程 分别令x 0和y 4 可得这时 QR 当4 t 8时 Q R两点分别在BC AD上 对方程 分别令y 0和y 4 可得这时 QR 综上所述 当0 t 8 4时 QR 2当8 4 t 4时 QR 当4 t 8时 QR 拓展提升 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括 二次函数对称轴位置的变动 函数问题中区间的变动 函数图象形状的变动 直线由斜率引起的位置变动 圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动 立体几何中点 线 面的位置变动等 变式训练 设A B是椭圆C 1长轴的两个端点 若C上存在点M满足 AMB 120 则m的取值范围是 A 0 1 9 B 0 9 C 0 1 4 D 0 4 解析 选A 方法一 设焦点在x轴上 点M x y 过点M作x轴的垂线 交x轴于点N 则N x 0 故tan AMB tan AMN BMN 又tan AMB tan120 且由 1可得x2 3 则解得 y 又0 y 即0 结合0 m 3 解得0 m 1 对于焦点在y轴上的情况 同理可得m 9 则m的取值范围是 0 1 9 方法二 当03时 焦点在y轴上 要使椭圆C上存在点M满足 AMB 120 则 tan60 即解得m 9 故m的取值范围为 0 1 9
