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1、光的衍射 惠更斯 菲涅尔原理 惠更斯 菲涅耳原理其内容如下 如图所示 波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率 或波长 与入射波相同的子波源 在其后任何地点的光振动 就是这些子波叠加的结果 s为点波源 为从S发出的球面波在某时刻到达的波面 P为波场中的某个点 惠更斯 菲涅尔原理 由惠更斯 菲涅耳原理知 应该把 面分割成无穷多的面元d 把每个面元d 看成发射次波的波源 从所有面元发射的次波将在P点相遇 一般说来 由各面元d 到P点的光程是不同的 从而在P点引起的振动位相不同 P点的总振动就是这些次波在这里相干叠加的结果 以上就是惠更斯 菲涅耳原理的基本思想 惠更斯 菲涅尔原理 惠更斯 菲涅
2、耳原理可以表述如下 波前上每一个面元都可看成是新的振动中心 它们发出次波 频率与入射波相同 在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干迭加 是相干叠加 复振幅叠加如图所示 点光源S在波面 上任一点Q产生的复振幅为 惠更斯 菲涅尔原理 式中 A是离点光源单位距离处的振幅 R是波面 的半径 在Q点处取面元d 面元发出的子波在P点产生的复振幅与在面元上的复振幅 面元大小和倾斜因子K 成正比 面元d 在P点产生的复振幅可以表示为 惠更斯 菲涅尔原理 K 表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角 的变化 称为衍射角 c为一常数 r QP 菲涅耳假设 当时 0 倾斜因子K有最大值 随着增加 K减小 当 2
3、时 K 0 对P点产生作用的将是波面 中界于zz 范围内的波面 上的面元发出的子波 惠更斯 菲涅尔原理 则 此即为惠更斯 菲涅耳原理的菲涅耳表达式 此关系式还可推广为下式 即若 有 基尔霍夫标量衍射理论 基尔霍夫衍射理论 如前所述 1818年菲涅耳提出了惠更斯 菲涅耳原理 并给出了菲涅耳衍射积分公式 最初菲涅耳作的各项假设时 只凭朴素的直觉 六十余年后 基尔霍夫 1882年 建立了一个严格的数学理论 应用 亥姆霍兹 方程和格林定理证明菲涅耳的设想基本上正确 只是菲涅耳给出的倾斜因子不对 并对其进行了修正 基尔霍夫理论 只适用于标量波的衍射 故又称标量衍射理论 此结果称为亥姆霍兹 基尔霍夫积分定
4、理其意义在于 把闭曲面 内任一点P的电磁场值用曲面上的场值及表示出来 因而它也可看作惠更斯 菲涅耳原理的一种数学表示 事实上 在上式的被积函数中 可视为由曲面 上的Q点向内空间的P点传播的波 波源的强弱由Q点上的和值确定 因此 曲面上每一点可以看作为一个次级光源 发射出子波 而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的叠加 基尔霍夫衍射理论 二 菲涅耳 基尔霍夫公式可以证明亥姆霍兹 基尔霍夫积分定理 在某些近似条件下 可以化为一种与菲涅耳表达式基本相同的形式 对于单色点光源S发出的球面波照明无限大不透明屏上孔径 的情况 计算P点的场值 若 孔径线度比波长大 但比孔径到S和P的距离小得多 则由亥姆霍兹
5、一基尔霍夫积分定理选取包围P点的闭合曲面 它由三部分组成 基尔霍夫衍射理论 1 孔径 2 不透明屏右侧 1 3 以P为中心 R为半径的部分球面 2 则P点的场强值对于 和 1面 基尔霍夫假定 1 在孔径 上 和的值由入射波决定 与不存在不透明屏时完全相同 即 基尔霍夫衍射理论 表示外向法线与从S到上某点Q的矢量之间夹角的余弦 2 在不透明屏右侧 1上 假定假定 1 2 称为基尔霍夫边界条件 基尔霍夫衍射理论 对于 2 在 2上 则对 2上的积分关系 基尔霍夫衍射理论 为 2对P点所张立体角 由索末菲辐射条件 在辐射场中而是有界的则R 时 可不考虑 2的贡献 即将 基尔霍夫衍射理论 代入上式 则
6、并考虑到1 r 1 l比k值小得多 则此即为菲涅耳 基尔霍夫衍射公式此为基尔霍夫衍射定理的一种近似 与惠更斯 菲涅耳原理的表达式比较 基尔霍夫衍射理论 则两式完全相同 基尔霍夫衍射理论 基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式 若 入射波为垂直入射到孔径的平面波 则则显然 0时 K 1 时 K 0 基尔霍夫衍射理论 这说明菲涅耳子波假设K 2 0是不正确的三 巴俾涅 Babinet 原理是关于互补屏衍射的原理 互补屏 两个衍射屏 其一的通光部分正好对应另一的不透光部分 反之亦然 则即两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和等于没有屏时的复振幅 此即为Babinet原理 此表明 在的那些点 基尔霍夫衍射理
7、论 的位相相差 强度相等即 在的那些点 两个互补屏单独产生的强度相等 基尔霍夫衍射公式的近似 基尔霍夫衍射公式的近似 应用基尔霍夫公式来计算衍射问题 由于被积函数的形式比较复杂 因此 一般对其作一些近似处理 一 傍轴近似 对 垂直入射于无限大不透明屏上孔径 上的单色平面波 如图所示 有 基尔霍夫衍射公式的近似 若衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离小得多 且观察屏上的考察范围也比观察屏到孔径的距离小得多 则有傍轴近似 1 取则倾斜因子 2 由于上述条件 使孔径范围内的任一点Q 到观察屏上考察点P的距离r变化不大 则可取 基尔霍夫衍射公式的近似 则可取但复指数中的r不可替代 则菲涅耳 基尔霍夫公式
8、可写为 基尔霍夫衍射公式的近似 二 菲涅耳近似 对于具体的衍射问题 还可作更精确近似 为此取坐标系如图所示则式中 x1 y1 x y 分别是孔径上任一点Q和观察屏上考察点P的坐标值 对于上式作二项式展开 得 基尔霍夫衍射公式的近似 当z1大到使第三项以后各项对位相k r的作用远小于 时 第三项以后各项即可忽略 可只取前两项表示r即此为菲涅耳近似 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射 此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区 基尔霍夫衍射公式的近似 将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公式 得 菲涅耳衍射的计算公式 三 夫琅和费近似 在菲涅耳衍射区更远的地方 放置观察屏当z1很大 使得 则 基尔霍夫衍射公
9、式的近似 菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射 此时 得到夫琅和费衍射的计算公式 或菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射区 对应的衍射图具有不同的性质 后面将分别讨论 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 衍射系统由光源 衍射屏和接收屏组成 通常按它们相互间距离的大小 将衍射分为两类 与前述两种近似相对应 一类是光源和接收屏 或两者之一 距离衍射屏有限远 此为菲涅耳衍射 1818年 另一类是光源和接收屏都距离衍射屏无穷远 此为夫琅和费衍射 1821 1822年 两种衍射的区分是从理论计算上考虑的 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 菲涅耳衍射是普遍的 夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的特例 但其计算相对简单 特别
10、是对于简单形状孔径的衍射 通常能够以解析形式求出积分 另外 它还是光学仪器中最常见的衍射现象 菲涅耳 基尔霍夫衍射公式 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 基尔霍夫衍射公式的近似 1 傍轴近似 入射光垂直孔径面2 菲涅耳近似 3 夫琅和费近似 4 菲涅耳衍射公式 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 5 夫琅和费衍射公式 一 夫琅和费衍射装置 由夫琅和费近似条件 知对于 600nm的光波 当z1 330m 当z1 33m 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 即只有在很远距离上才能观察到夫琅和费衍射条纹 在实验室中很难实现 即使设法实现 在观察面上的辐照度也将相当微弱 通常观察夫琅和费衍射的方法是在衍射光栏后方紧靠孔径处放置一
11、个透镜 在透镜后焦面上即可呈现夫琅和费衍射图形 如图所示 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 直观地说 因为透镜可以把位于无限远的图象成象在其后焦面上 所以观察屏上的辐照度分布与z1 时 观察屏上的辐照度分布是相似图形 因而在透镜后焦面上可以看到夫琅和费衍射图形 另一方面 可以把如上图所示的装置看成是一个特殊的菲涅耳衍射装置 这时把透镜对光波的作用看成是衍射屏透过函数的一个组成部分 设透镜很薄 位在 面上 则它能把正入射平面波转化为向其后焦点会聚的球面波 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 该球面波为 其中T0描述透镜使入射波在x1 y1 0处发生的位相变化 是一个复常数可设为1由菲涅耳衍射公式 衍射屏后的复振幅
12、分布为从而 即 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 此式与不考虑透镜时的夫琅和费衍射公式完全相同 只需将后者的z1换成f 即 透镜使我们能在属于菲涅耳衍射区域的某个平面 透镜后焦面 上观察到夫琅和费衍射图形 二 夫琅和费衍射公式的意义 从上面的分析可知 透镜应紧靠孔径 下面说明上式的意义 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 A 复指数因子在菲涅耳近似下 孔径面坐标原点C 当透镜紧靠孔径时 C与透镜中心重合 到P的距离故上式因子的位相就是C处子波源发出的子波到达P点的位相延迟 由费马原理 光线实际传播的路径是光程平稳的路径 物点Q和象点Q 之间各光线的光程都相等 即 物象之间有等光程性 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 B
13、 另一个复指数因子 其幅角实际上代表孔径内任一点Q 坐标值为x1 y1 和坐标原点C发出的子波到达P点的位相差 由图所示 由于从Q和从H到P的光程相等 则QJP和CIP的光程差 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 当P靠近P0时 令为CI方向的单位矢量 且很靠近 上述光程差为相应的位相差为 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 说明 式正是表示孔径内各点发出的子波在方向余弦l和w代表的方向上的叠加 叠加的结果取决于各点发出的子波和参考点C点发出的子波的位相差 由于透镜的作用 l和w代表的方向上的子波聚焦在透镜焦面上的P点 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 另一个重要意义 令则上式可以写成 此式表明 除了一个二次位相因子外 夫琅和费衍射的复振幅分布是孔径面上复振幅分布的付里叶变换 夫琅和费衍射的强度分布可由傅里叶变换式直接求出 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 三 矩孔衍射矩孔 取矩孔中心作为坐标原点 则观察屏上的P点的复振幅为 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 对于轴上点P0 x y 0 则其复振幅 故 P点 x y 的复振幅为 矩孔和单缝的夫琅和费衍射 P点的强度此即为夫琅和费矩孔衍射的强度分布公式 谢谢各位
